Differenze tra le versioni di "Divisione per zero"

migliorata integrazione di alcune formule nel testo
(migliorata integrazione di alcune formule nel testo)
<small>(Il termine di sinistra è ottenuto come caso particolare della ben nota regola</small> {{Tutto attaccato|1 = (''a'' + ''b'')(''a'' - ''b'') = ''a''<sup>2</sup> - ''b''<sup>2</sup>}} <small>; quello di destra semplicemente raccogliendo ''x'' a fattor comune)</small>
 
* Dividendo entrambi i membri per <math>{{Tutto attaccato|x - x</math> }}:
::<math> x + x = x.</math>
 
* Poiché questo è valido per ogni valore reale di <math>x</math> possiamo sostituire <math>{{Tutto attaccato|1 = x = 1</math>}}.
::<math>2 = 1.</math>
 
La [[fallacia]] è nell'assumere che la divisione per <math>{{Tutto attaccato|1 = x - x = 0</math>}} sia definita.
 
In pratica, la divisione per un termine in una qualunque dimostrazione algebrica richiede o una esplicita assunzione che il termine non sia mai zero o una separata giustificazione che mostri che tale termine non possa mai essere zero.
:<math>2x \equiv 2 \pmod 6.</math>
 
Ma l'equazione ha due distinte soluzioni, <math>{{Tutto attaccato| x\equiv 1 \pmod(mod 6</math>)}} e <math>{{Tutto attaccato| x\equiv 4 \pmod(mod 6</math>.)}} per cui l'espressione è indefinita. Il problema sorge poiché <math>2</math> non è invertibile rispetto alla moltiplicazione.
 
== Limiti e divisione per zero ==
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire <math display="inline">{a \over 0}</math> considerando il [[limite (matematica)|limite]] di <math display="inline">{a \over b}</math> con <math>''b</math>'' che tende a <math>0</math>.
 
Con <math>''b</math>'' che tende a <math>0</math> da destra (positivo), per ogni <math>a</math> maggiore di zero (positivo), è noto che:
 
:<math>\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = +\infty,</math>
 
invece per ogni <math>''a</math>'' minore di zero (negativo),
 
:<math>\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = -\infty.</math>
 
Studiando invece il limite con <math>''b</math>'' che tende a <math>0</math> da sinistra (negativo),
 
per <math>''a</math>'' positivo
 
:<math>\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = -\infty,</math>
 
e per <math>''a</math>'' negativo
 
:<math>\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = +\infty.</math>
:<math>+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,</math>
 
si giunge al risultato errato {{Tutto attaccato|1 = <mathbig>+\infty∞</big> =-\infty <big> −∞</mathbig>}} (che è scaturito dal non considerare la diversità del limite destro e sinistro in <math>0</math>). Si potrebbe anche condurre uno studio considerando un "infinito senza segno", ma la definizione che ne risulterebbe non sarebbe generalmente utile e non sarebbe compatibile con la struttura dei numeri reali di [[campo ordinato]].
 
L'equazione
:<math>0x=a,</math>
 
ancora non possiede soluzione per ogni <math>''a</math>'' finito. Inoltre, non vi è nessuna definizione ovvia di <math display="inline">{0 \over 0}</math> che possa essere derivata considerando il limite di una divisione. Il limite
 
:<math> \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} </math>
:<math> \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)},</math>
 
nei quali sia <math>fƒ(''x'')</math> e <math>''g''(''x'')</math> tendono a <math>0</math> quando <math>''x</math>'' tende a <math>0</math>, possono convergere a qualunque valore o non convergere affatto. Vedere la [[regola di De L'Hôpital]] per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
 
== In analisi matematica ==
Nella [[teoria delle distribuzioni]] si può estendere la funzione <math display="inline">{1 \over x}</math> ad una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il [[valore principale di Cauchy]]). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con <math>{{Tutto attaccato|1 = ''x'' = 0</math>}}; una risposta sofisticata si appoggia al [[supporto singolare]] della distribuzione.
Nella [[teoria delle distribuzioni]] si può estendere la funzione
 
:<math>{1 \over x},</math>
 
ad una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il [[valore principale di Cauchy]]). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con <math>x = 0</math>; una risposta sofisticata si appoggia al [[supporto singolare]] della distribuzione.
 
== Altri sistemi numerici ==
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