Frazione egizia: differenze tra le versioni
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== Esempio ==
Ad esempio, la frazione <math display="inline">\frac{3}{4} </math> scritta sotto forma di frazione egizia:
:<math>\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} </math>
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:<math>\frac{2}{p \cdot q} = \frac{1}{ p \cdot \frac{p + q}{2}} + \frac{1}{ q \cdot \frac{p + q}{2}} \, </math>
È da osservare che nessuno dei due procedimenti elencati fornisce la combinazione per <math display="inline">\frac{2}{15}</math> così come appare nella tabella riportata dal [[Papiro di Rhind]]. Lo scriba, infatti, potrebbe aver privilegiato la seguente relazione già nota ed utilizzata dagli egiziani'' (vedi Carl B. Boyer - Storia della Matematica)'':
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=== Medioevo ===
La notazione egizia continuò ad essere usata anche nella [[Grecia antica]] e nel [[medioevo]]. Un importante testo medievale sull'argomento è contenuto nel [[Liber abaci]] (1202) di [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]. Esso ci dà alcune informazioni sull'uso di questo tipo di notazione, ed introduce alcuni argomenti importanti anche per gli studi moderni. Il testo contiene anche alcune indicazioni su come trasformare le frazioni in frazioni egizie. Ad esempio, quando il denominatore è un [[numero pratico]], si può dividere il numeratore nella somma di due divisori del primo. Il Liber abaci include tavole di espansione per i numeri pratici 6, 8, 12, 20, 24, 60 e 100. Quindi, con
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* La [[congettura di Erdős–Graham]], nella [[teoria dei numeri]], asserisce che se l'insieme di numeri interi maggiori di 1 è diviso in un numero finito di sottoinsiemi, allora uno di questi sottoinsiemi può essere utilizzato per formare una frazione egizia uguale ad [[uno]]. Se i numeri naturali sono suddivisi in {{Tutto attaccato|''r'' > 0}} sottoinsiemi disgiunti, allora almeno uno di essi contiene un sottoinsieme ''S'' tale che:
::<math>\sum_{n \in S}\frac{1}{n} = 1 </math>
::La congettura prevede anche che l’insieme ''S'' possa essere limitato a interi non maggiori di ''b<sup>r</sup>'', per una costante ''b'' tale che {{Tutto attaccato|e ≤ b ≤ e<sup>167 000</sup>}} e ''r'' abbastanza grande.<ref>{{cite journal
|author = Croot, Ernest S., III|year = 2003|title = On a coloring conjecture about unit fractions|journal = [[Annals of Mathematics]]|volume = 157|issue = 2|pages = 545–556|arxiv = math.NT/0311421|doi = 10.4007/annals.2003.157.545|url = http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v157-n2-p04.pdf}}
</ref>
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::<math>\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)} </math>
* Graham, nel [[1964]], definì quali numeri possono essere espressi sotto forma di frazione egizia con denominatori elevati alla
::<math>\left[0,\frac{\pi^2}{6}-1\right)\cup\left[1,\frac{\pi^2}{6}\right) </math>
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