Autovettore e autovalore: differenze tra le versioni
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[[File:Mona_Lisa_with_eigenvector.png|thumb|upright=1.2|In questa trasformazione lineare della [[Gioconda]] l'immagine è modificata ma l'asse centrale verticale rimane fisso. Il vettore blu ha cambiato lievemente direzione, mentre quello rosso no. Quindi il vettore rosso è un autovettore della trasformazione e quello blu no. Inoltre, poiché il vettore rosso non è stato né allungato, né compresso, né ribaltato, il suo autovalore è 1. Tutti i vettori sull'asse verticale sono multipli scalari del vettore rosso, e sono tutti autovettori: assieme all'origine formano l'autospazio relativo all'autovalore 1.]]
In [[matematica]], in particolare in [[algebra lineare]], un '''autovettore''' di una funzione tra [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] è un [[Vettore (matematica)|vettore]] non [[vettore nullo|nullo]] la cui [[Immagine (matematica)|immagine]] è il vettore stesso moltiplicato per un numero (reale o complesso) detto '''autovalore'''.<ref name=def>{{Cita|S. Lang|Pag. 220|lang}}</ref> Se la funzione è [[trasformazione lineare|lineare]], gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore, insieme con il vettore nullo, formano uno [[spazio vettoriale]], detto '''autospazio'''.<ref name=autospazio>{{Cita|S. Lang|Pag. 221|lang}}</ref> La nozione di autovettore viene generalizzata dal concetto di [[vettore radicale]] o ''autovettore generalizzato''.
I concetti di autovettore e autovalore sono utilizzati in molti settori della matematica e della [[fisica]]; il problema della ricerca degli autovalori di una funzione lineare corrisponde alla sua [[diagonalizzabilità|diagonalizzazione]]. Se un autovettore è una funzione si parla di [[autofunzione]]; per esempio in [[meccanica classica]] è molto comune considerare la [[funzione esponenziale]] <math>f_\lambda(x)=e^{\lambda x}</math> come autofunzione della [[derivata]]. Formalismi di questo tipo consentono di descrivere molti problemi relativi ad un sistema fisico, ad esempio i [[oscillatore armonico|modi di vibrazione]] di un corpo rigido o i [[Matrice di Fock|livelli energetici]] degli [[orbitale|orbitali]] [[atomo|atomici]] e [[molecola|molecolari]] sono associati ad autovettori ([[autostato|autostati]]) di funzioni ([[osservabile|osservabili]]) che ne determinano la dinamica.
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In particolare, gli autovalori di <math>A</math> non dipendono dalla base scelta.
Il vettore <math>\mathbf {x}</math> è detto ''autovettore destro'', in quanto un vettore non nullo <math>\mathbf x_L</math> è detto ''autovettore sinistro'' se esiste <math>\lambda</math> tale che:<ref>[http://web.stanford.edu/class/cme335/lecture4sup.pdf Jim Lambers - The Unsymmetric Eigenvalue Problem]</ref>
:<math>\lambda \mathbf x_L^H = \mathbf x_L^H A </math>
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:<math>\mathcal A(e^{kx}) = ke^{kx} </math>
== Polinomio caratteristico ==
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:<math> p(\lambda) = \det(A - \lambda I) </math>
dove <math>I</math> è la [[matrice identità]] con lo stesso numero di righe di <math>A</math>.
Due matrici che rappresentano un [[endomorfismo]] <math>T</math> di uno spazio vettoriale <math>V</math> a [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita sono [[Similitudine fra matrici|simili]], e in particolare hanno il medesimo polinomio caratteristico, e dunque gli stessi autovalori. Si tratta di uno strumento di grande importanza, che ha permesso di sviluppare un metodo generale per l'individuazione di autovalori e autovettori di un endomorfismo nel caso in cui lo spazio vettoriale <math>V</math> abbia [[dimensione]] finita.<ref>Nella pratica gli autovalori di grandi matrici non vengono calcolati usando il polinomio caratteristico, esistendo metodi [[analisi numerica|numerici]] più veloci e sufficientemente stabili.</ref>
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* [[Trasformazione lineare]]
* [[Valore singolare]]
* [[Vettore radicale]]
== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html Eigenvector] in [[MathWorld]]
* {{en}} {{springerEOM|titolo=Eigen vector|autore= T.S. Pigolkina, V.S. Shul'man}}
* {{en}} {{springerEOM|titolo=Root vector|autore=V.L. Popov}}
* {{en}} T. S. Pigolkina, V. S. Shul'man: ''Eigen vector'' [http://eom.springer.de/E/e035180.htm Eigen vector] in [[Encyclopaedia of Mathematics]]
* {{en}} [http://members.aol.com/jeff570/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: E - vedi '''eigenvector''' e termini correlati]
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