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Riga 1: In [[matematica]], la '''stabilità interna''' o '''stabilità di Lyapunov''' di un [[sistema dinamico]] è la [[~~Stabilità~~Teoria ~~(teoria~~della ~~dei sistemi)~~stabilità\|stabilità]] del sistema in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un [[punto di equilibrio]]. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Lyapunov) se ogni [[traiettoria]] (soluzione dell'equazione che definisce il sistema) che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio origina un'[[Orbita (matematica)\|orbita]] che rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se è stabile e ogni traiettoria che parte sufficientemente vicina origina un'orbita che converge alla traiettoria stessa al crescere infinito del tempo. L'analisi della stabilità interna di un sistema dinamico è di grande importanza nello studio dei fenomeni naturali, in cui laad una condizione di equilibrio corrisponde ad un minimo dell'[[energia]] posseduta dal sistema come conseguenza del fatto che esso tende spontaneamente a minimizzarla. Il [[teorema di Lagrange-Dirichlet]], che considera sistemi [[vincolo\|olonomi]] soggetti a [[Forza conservativa\|forze conservative]] e con vincoli perfetti (bilaterali) indipendenti dal tempo, stabilisce in particolare che se l'[[energia potenziale]] ha un [[Massimo e minimo di una funzione\|minimo relativo proprio]] quando il sistema assume una certa configurazione, allora in corrispondenza di tale configurazione il sistema è in [[equilibrio meccanico]] stabile. [[Immagine:Stable-unstable1.svg\|upright=1.4\|thumb\|Una palla nel fondo di una valle è in una posizione di equilibrio stabile, mentre una in cima ad una collina è in posizione di equilibrio instabile.]] Riga 36: == Teoremi di Lyapunov == I due teoremi di [[Aleksandr Michajlovič Ljapunov\|Lyapunov]] forniscono condizioni sufficienti per la stabilità in prossimità di un punto di equilibrio. Sono estesi da un vasto numero di risultati, ad esempio il [[teorema di LaSalle]]. Il criterio fornito da questi risultati viene utilizzato in [[fisica]] per descrivere il fatto che un [[meccanica classica\|sistema meccanico]], se lasciato libero di evolvere, tende a portarsi in una configurazione dove la sua [[energia potenziale]] è minima (si veda il [[teorema di Lagrange-Dirichlet]]). La [[funzione di Lyapunov]] può in tale contesto essere interpretata come una funzione di energia potenziale generalizzata. Uno stato di equilibrio è ''stabile'' se: * è minimo per una certa funzione di energia generalizzata (cioè se esiste una funzione di Lyapunov definita positiva)▼ * il sistema tende a portarsi verso la configurazione di minimo della funzione di Lyapunov (cioè se la derivata della funzione di Lyapunov è semidefinita negativa).▼ Si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria: non è detto in generale che l'origine non sia stabile se non esiste una funzione di Lyapunov definita in un intorno dell'origine. Inoltre non esiste un algoritmo per trovare la funzione di Lyapunov relativa a un sistema, ma si deve cercare per tentativi, basandosi sul tipo di funzione di stato e su considerazioni puramente fisiche.▼ ~~I teoremi di Lyapunov sono estesi da un vasto numero di risultati, ad esempio il [[teorema di LaSalle]].~~ ===Primo teorema di Lyapunov=== Line 78 ⟶ 70: È semplice visualizzare questo metodo di analisi pensando ad un sistema fisico (ad esempio, una massa oscillante collegata a una molla) e considerando l'energia di questo sistema. Se il sistema perde energia nel tempo e l'energia non è mai rimpiazzata allora alla fine il sistema deve fermarsi in un determinato stato finale. Questo stato finale è definito [[attrattore]]. In generale, trovare una funzione che rappresenti esattamente l'energia di un sistema fisico può essere difficile, e per modelli matematici astratti, sistemi economici o biologici, il concetto di energia potrebbe non essere applicabile. Il risultato di Lyapunov indica che la stabilità può essere provata senza richiedere la conoscenza dell'effettiva energia fisica del sistema, a condizione che sia possibile trovare una [[funzione di Lyapunov]] che soddisfi i vincoli suddetti. Uno stato di equilibrio è dunque stabile se: ▲* è minimo per una certa funzione di energia generalizzata (cioè se esiste una funzione di Lyapunov definita positiva) ▲* il sistema tende a portarsi verso la configurazione di minimo della funzione di Lyapunov (cioè se la derivata della funzione di Lyapunov è semidefinita negativa). ▲Si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria: non è detto in generale che l'origine non sia stabile se non esiste una funzione di Lyapunov definita in un intorno dell'origine. Inoltre non esiste un algoritmo per trovare la funzione di Lyapunov relativa a un sistema, ma si deve cercare per tentativi, basandosi sul tipo di funzione di stato e su considerazioni puramente fisiche. == Esempio: l'oscillatore armonico == Line 101 ⟶ 97: * [[Teorema di Lagrange-Dirichlet]] * [[Teorema di LaSalle]] * [[Teoria della stabilità]] * [[Varietà centrale]] * [[Varietà invariante]]

Stabilità interna: differenze tra le versioni