Differenze tra le versioni di "Risposta in frequenza"

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In [[Analisi dei sistemi dinamici|teoria dei sistemi dinamici]], la '''risposta in frequenza''' (o '''risposta armonica''') di un [[sistema dinamico lineare stazionario]] è la [[trasformata di Fourier]]descrizione della sua [[risposta all'impulsooutput|uscita]], ed(una è perciò la [[funzione didel rete]]tempo) cheutilizzando esprimecome variabile la [[algebra|relazione algebricafrequenza]] trainvece ingressoche eil uscitatempo (ovvero nel [[dominio della frequenza]]). SiNel trattacaso di un[[sistema potentedinamico strumentolineare|sistemi perlineari]] caratterizzaresi ilparla comportamentospesso odi [[outputrappresentazione spettrale dei segnali]] diper unindicarne l'analisi in frequenza, ed in particolare per i [[sistema dinamico lineare stazionario|sistemi LTI]] sottopostola a sollecitazionirisposta in frequenza è data dalla [[input|ingressofunzione di trasferimento]], variabilidefinita nelcome tempola [[trasformata di Laplace]] della [[risposta all'impulso]].
 
==Descrizione==
 
Definire la risposta in [[frequenza]] di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita del sistema quando la sollecitazione applicata e la risposta sono variabili nel tempo. Dal momento che un qualsiasi segnale periodico può essere scomposto in una serie di sinusoidi di frequenze diverse (come da [[serie di Fourier]]), se si conosce l'insieme delle risposte a tale segnale alle varie frequenze in ampiezza e [[fase (segnali)|fase]] è possibile ricostruire il segnale d'uscita senza dover effettuare calcoli specifici per ognuno degli infiniti tipi di forme d'onda di ingresso. La risposta in frequenza può essere vista dunque come la scomposizione in frequenza della risposta di un sistema a cui è applicato un [[segnale (fisica)|segnale]] composto da infinite frequenze armoniche a diversa frequenza e ampiezza costante e unitaria.
 
In [[elettronica]] e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i [[Filtro (elettronica)|filtri]] elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri [[filtro passa basso|passa basso]], [[filtro passa banda|passa banda]] o [[filtro passa alto|passa alto]] grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di [[Filtro attivo|filtri attivi]], la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli [[Amplificatore (elettronica)|amplificatori]] lineari e negli amplificatore a [[retroazione]].
 
== Sistemi dinamici lineari e stazionari ==
{{Vedi anche|Sistema dinamico lineare}}
Dalla teoria sui sistemi lineari dinamici, <math>u_{in}(t)</math> è un segnale generico in ingresso ad un sistema la sua risposta può essere scritta nel caso più generale:
 
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} u_{out}(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} u_{out}(t) + \dots + a_0 u_{out}(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} u_{in}(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u_{in}(t) + \dots + b_0 u_{in} (t)</math>
 
che rappresenta a sua volta il modello AutoRegressivo a Media Mobile (ARMA) del sistema che lega l'ingresso e le sue derivate con le uscite e le sue derivate.
 
La funzione di trasferimento è data:
 
:<math>k(i \omega) = \frac{b_m (i \omega)^m + b_{m-1} (i \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (i \omega)^n + a_{n-1} (i \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
 
cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di <math>i \omega</math> con coefficienti uguali al sistema. La risposta in frequenza di un sistema dinamico lineare può essere eseguita attraverso le risposte del sistema agli impulsi elementari quali la [[delta di Dirac]] o la [[funzione gradino di Heaviside]] nel dominio del tempo, oppure attraverso le [[Funzione di rete|funzioni di rete]] cioè la [[funzione di trasferimento]] o la [[Funzione di rete|funzione impedenza]] e [[Funzione di rete|funzione ammettenza]] nel dominio della frequenza attraverso il [[metodo simbolico]] che fa uso della [[trasformata di Fourier]] o con il [[metodo operatoriale]] che fa uso della [[trasformata di Laplace]].
 
La Risposta in Frequenza <math>W(j*w)</math> altro non è quindi che la funzione di trasferimento del sistema espressa nel dominio di Fourier della variabile [[frequenza angolare]], ovvero è quella funzione che applicata in modulo e fase ad ingressi di tipo armonico restituisce l'uscita del sistema tramite il teorema della risposta armonica. Tale funzione si ottiene direttamente dalla funzione di trasferimento nella variabile di Laplace sostituendo alla variabile complessa <math>s=a+jb</math> la variabile <math>j w</math>, ovvero prendendo la sola parte immaginaria:
 
:<math>\ W(jw)=F(s) |s=jw </math>
 
=== Sistemi dinamici lineari e stazionari ===
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
Dalla teoria sviluppata nei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi lineari e stazionari]] è noto che in generale:
 
Quindi un sistema lineare e stazionario può essere studiato nel [[dominio del tempo]] attraverso la [[rappresentazione dinamica dei segnali]], cioè tramite la risposta all'impulso o al gradino unitario come visto nei sistemi lineari e stazionari, oppure può essere studiato nel [[dominio della frequenza]] sulla base della risposta in frequenza.
 
== Sistemi dinamici lineari ==
{{Vedi anche|Sistema dinamico lineare}}
Dalla teoria sui sistemi lineari dinamici, <math>u_{in}(t)</math> è un segnale generico in ingresso ad un sistema la sua risposta può essere scritta nel caso più generale:
 
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} u_{out}(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} u_{out}(t) + \dots + a_0 u_{out}(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} u_{in}(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u_{in}(t) + \dots + b_0 u_{in} (t)</math>
 
che rappresenta a sua volta il modello AutoRegressivo a Media Mobile (ARMA) del sistema che lega l'ingresso e le sue derivate con le uscite e le sue derivate.
 
La funzione di trasferimento è data:
 
:<math>k(i \omega) = \frac{b_m (i \omega)^m + b_{m-1} (i \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (i \omega)^n + a_{n-1} (i \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
 
cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di <math>i \omega</math> con coefficienti uguali al sistema. La risposta in frequenza di un sistema dinamico lineare può essere eseguita attraverso le risposte del sistema agli impulsi elementari quali la [[delta di Dirac]] o la [[funzione gradino di Heaviside]] nel dominio del tempo, oppure attraverso le [[Funzione di rete|funzioni di rete]] cioè la [[funzione di trasferimento]] o la [[Funzione di rete|funzione impedenza]] e [[Funzione di rete|funzione ammettenza]] nel dominio della frequenza attraverso il [[metodo simbolico]] che fa uso della [[trasformata di Fourier]] o con il [[metodo operatoriale]] che fa uso della [[trasformata di Laplace]].
 
La Risposta in Frequenza <math>W(j*w)</math> altro non è quindi che la funzione di trasferimento del sistema espressa nel dominio di Fourier della variabile [[frequenza angolare]], ovvero è quella funzione che applicata in modulo e fase ad ingressi di tipo armonico restituisce l'uscita del sistema tramite il teorema della risposta armonica. Tale funzione si ottiene direttamente dalla funzione di trasferimento nella variabile di Laplace sostituendo alla variabile complessa <math>s=a+jb</math> la variabile <math>j w</math>, ovvero prendendo la sola parte immaginaria:
 
:<math>\ W(jw)=F(s) |s=jw </math>
 
==Analisi nel campo reale==
Qualsiasi grandezza variabile in funzione del tempo può scriversi quindi nella suddetta forma.
 
==Formalismo di Laplace==
==Analisi nel campo complesso==
{{Vedi anche|Trasformata di Laplace}}
L'analisi nel campo complesso è realizzata mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace, che rende possibile il superamento delle difficoltà operazionali connaturali all'analisi nel dominio dei numeri reali.
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