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Risposta in frequenza: differenze tra le versioni

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In [[Analisi dei sistemi dinamici|teoria dei sistemi dinamici]], la '''risposta in frequenza''' o '''risposta armonica''' di un [[sistema dinamico]] è la descrizione della sua [[output|uscita]] (una funzione del tempo) utilizzando come variabile la [[frequenza]] invece che il tempo (ovvero nel [[dominio della frequenza]]). La descrizione in frequenza di un sistema dinamico, da un punto di vista matematico, avviene tramite il formalismo della [[rappresentazione spettrale dei segnali]]. Si tratta della scomposizione in frequenza della risposta di un sistema a cui è applicato un ingresso composto da infinite frequenze, ognuna con ampiezza costante e unitaria.
 
L'analisi in frequenza del comportamento di un sistema viene svolta molto spesso quando si ha a che fare con [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] in configurazione [[teoria della stabilità|stabile]], i quali hanno la fondamentale proprietà di rispondere ad un input puramente sinusoidale con un'uscita della stessa frequenza, ovvero restituiscono la medesima sinusoide in ingresso, sfasata e moltiplicata per un fattore scalare. Se il sistema è un [[sistema dinamico lineare stazionario]] (LTI) tale fattore moltiplicativo non varia nel tempo; per tale motivo la risposta in frequenza di sistemi LTI viene caratterizzata completamente dall'uscita del sistema quando in ingresso vi è un impulso che contiene tutte le frequenze, in particolare un impulso a [[delta di Dirac]]. La risposta in frequenza è in tal caso esplicitata dalla [[funzione di trasferimento]], definita come la [[trasformata di Laplace]] della [[risposta all'impulso]] a delta di Dirac. ▼
 
▲L'analisi in frequenza del comportamento di un sistema viene svolta molto spesso quando si ha a che fare con [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] (in configurazione [[teoria della stabilità|stabile]]), i quali hanno la fondamentale proprietà di rispondere ad un input puramente sinusoidale con un'uscita della stessa frequenza, ovvero restituiscono la medesima sinusoide in ingresso, sfasata e moltiplicata per un fattore scalare. Se il sistema è un [[sistema dinamico lineare stazionario]] (LTI) tale fattore moltiplicativo non varia nel tempo; per tale motivo la risposta in frequenza di sistemi LTI viene caratterizzata completamente dalla [[risposta all'impulso]], cioè dall'uscita del sistema quando in ingresso vi è un solo impulso che contiene tutte le frequenze, in particolarecome un impulso a [[delta di Dirac]]. La risposta in frequenza è in tal caso esplicitata dalla [[funzione di trasferimento]], (definita come la [[trasformata di Laplace]] della [[risposta all'impulso]] a delta di Dirac.
<!--Non è stata invece sviluppata una teoria completa per i sistemi tempo-invarianti che non sono lineari.-->
 
==Descrizione==
{{vedi anche|Rappresentazione spettrale dei segnali}}▼
Definire la risposta in [[frequenza]] di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita delnel sistema[[dominio quandodella la sollecitazione applicata e la risposta sono variabili nel tempofrequenza]]. Se il sistema è lineare, sollecitando una [[stabilità interna|configurazione stabile]] con una perturbazione periodica (un'oscillazione) il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. In particolare, per un [[sistema dinamico lineare stazionario|sistema LTIlineare stazionario]] la risposta in frequenza caratterizza completamente la dinamica del sistema: se essa non cambia nel tempo, conoscendo in ampiezza l'insieme delle risposte a tutte le frequenze è possibiledata ricostruiredalla il segnale d'uscita senza dover effettuare calcoli specifici per ognuno degli infiniti tipi[[funzione di forme d'onda di ingressotrasferimento]].
 
In [[elettronica]] e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i [[Filtro (elettronica)|filtri]] elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri [[filtro passa basso|passa basso]], [[filtro passa banda|passa banda]] o [[filtro passa alto|passa alto]] grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di [[Filtro attivo|filtri attivi]], la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli [[Amplificatore (elettronica)|amplificatori]] lineari e negli amplificatore a [[retroazione]].
 
===Serie di Fourier===
==Formalismo matematico==
La determinazione della risposta ad un segnale periodico <math>s(t)</math> di forma qualsiasi èsi calcola a assicuratapartire dallo sviluppo in [[serie di Fourier]] del segnale medesimo:▼
▲{{vedi anche|Rappresentazione spettrale dei segnali}}
Il comportamento del sistema viene analizzato applicando dei segnali sinusoidali di tutte le frequenze comprese tra zero ed infinito. Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Applicando ad un sistema stabile, con legame tra ingresso ed uscita rappresentato da una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, un segnale sinusoidale <math>e(t)=E_m \sin{\omega t}</math>, svanito il periodo transitorio, il segnale d'uscita risulta sinusoidale, della stessa frequenza di quello d'ingresso e del tipo <math>u(t)=U_m \sin{(\omega t+\phi)}</math>. L'ampiezza <math>U_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math>, sono generalmente, funzioni della frequenza: <math>U_m(\omega)</math>, <math>\phi(\omega)</math>. La risposta in uscita del sistema è della stessa forma del segnale d'entrata, della stessa frequenza e vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase. Il rapporto delle ampiezze è detto guadagno, il cui valore è funzione della frequenza d'eccitazione.▼
 
:<math>s(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty(A_n\cos (\omega_0 n t) +B_n \sin (\omega_0 n t))</math>
===Segnali periodici===
▲La determinazione della risposta ad un segnale periodico di forma qualsiasi è assicurata dallo sviluppo in [[serie di Fourier]] del segnale medesimo:
 
:dove i valori di <math>e(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty(</math>, <math>A_n\cos{\omega_0</math> ne t}+<math>B_n \sin{\omega_0 n t})</math> sono dati da:
 
:<math>B_nA_0=\frac{21}{T}\int_{0}^T{es(t)\sin{n\omega_0tdt}dt}</math>▼
Le seguenti espressioni forniscono i valori di <math>A_0</math>, <math>A_n</math> e <math>B_n</math>:
 
:<math>A_0A_n=\frac{12}{T}\int_{0}^T{es(t)dt\cos (n\omega_0t})dt</math>
 
:<math>A_nB_n=\frac{2}{T}\int_{0}^T{es(t)\cos{sin (n\omega_0tdt}omega_0t})dt</math>
 
Per segnali non periodici si deve ricorrere ad una [[trasformata integrale]], come la [[trasformata di Fourier]]:
▲:<math>B_n=\frac{2}{T}\int_{0}^T{e(t)\sin{n\omega_0tdt}}</math>
 
===Segnali non periodici===
Nello studio dei sistemi dinamici e delle [[equazioni differenziali]] che li descrivono, spesso si fa ricorso a segnali di una particolare famiglia di funzioni. Di questa famiglia le tre funzioni più usate sono la funzione scalino unitario, la funzione impulso unitario, la funzione rampa unitaria. Il problema è risolto facendo ricorso all'integrale di Fourier ([[antitrasformata di Fourier]]):
 
:<math>f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_n)e^{j\omega_nt}d\omega_n</math>
 
Qualsiasi grandezza variabile in funzione del tempo può scriversi quindi nella suddetta forma.
 
== Sistemi dinamici lineari ==
{{Vedi anche|SistemaFunzione dinamicodi linearetrasferimento}}
La risposta in uscita di un [[sistema dinamico lineare]] ha la stessa forma e la stessa frequenza del segnale d'entrata, ma vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase.
Dalla teoria sui sistemi lineari dinamici, <math>u_{in}(t)</math> è un segnale generico in ingresso ad un sistema la sua risposta può essere scritta nel caso più generale:▼
▲Il comportamento del sistema viene analizzato applicando dei segnali sinusoidali di tutte le frequenze comprese tra zero ed infinito. Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Applicando adDato un sistema lineare stabile, conin cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]] (a coefficienti costanti se il sistema è [[Sistema dinamico lineare stazionario|stazionario]]), applicando un segnale sinusoidale <math>ex(t)=E_mX_m \sin{ (\omega t})</math> di ampiezza <math>X_m</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale d'in uscita risulta sinusoidale, e della stessa frequenza di quello d'ingresso, eovvero del tipo <math>uy(t)=U_m \sin{ (\omega t+\phi)}</math>. L'ampiezza <math>U_mY_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math>, sono generalmente, funzioni della frequenza:. Il rapporto delle ampiezze <math>U_mY_m (\omega)< /math>, <math>\phiX_m (\omega)</math>. La risposta in uscita del sistema è della stessa forma del segnale d'entrata, della stessa frequenza e vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase. Il rapporto delle ampiezze è detto guadagno, ilper cui valore è funzione dellala frequenza d'eccitazione<math>\omega</math>.
 
▲Dalla teoria sui sistemi lineari dinamici,Se <math>u_{in}x(t)</math> è un segnale generico in ingresso ad un sistema LTI la sua risposta <math>y</math> può essere scritta nel caso più generalecome:
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} u_{out}(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} u_{out}(t) + \dots + a_0 u_{out}(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} u_{in}(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u_{in}(t) + \dots + b_0 u_{in} (t)</math>▼
 
▲:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} u_{out}y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} u_{out}y(t) + \dots + a_0 u_{out}y(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} u_{in}x(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} u_{in}x(t) + \dots + b_0 u_{in}x (t)</math>
che rappresenta a sua volta il modello AutoRegressivo a Media Mobile (ARMA) del sistema che lega l'ingresso e le sue derivate con le uscite e le sue derivate.
 
La funzione di trasferimento è data da:
 
:<math>k(i \omega) = \frac{b_m (i \omega)^m + b_{m-1} (i \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (i \omega)^n + a_{n-1} (i \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
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cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di <math>i \omega</math> con coefficienti uguali al sistema.
 
detta [[funzione di trasferimento]]. La risposta in frequenza di un sistema lineare e stazionario <math>f(\omega)=k(i\omega)</math> è la [[trasformata di FourierLaplace]] della [[risposta impulsiva]] <math>h</math>. Quindi la risposta impulsiva e quella in frequenza sono una la trasformata dell'altra:▼
=== Sistemi lineari e stazionari ===
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
Dalla teoria sviluppata nei [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi lineari e stazionari]] è noto che in generale:
 
:<math>u_{out}(t) = \mathbf Z u_{in} (t) </math>
 
dove <math>u_{in}</math> e <math>u_{out}</math> sono, rispettivamente, la sollecitazione (che nel caso che ci interessa è un segnale di qualsivoglia forma) e la risposta del sistema a tale sollecitazione, mentre l'operatore <math>\mathbf Z</math> rappresenta l'insieme delle operazioni che il sistema compie sul segnale di ingresso. Se invece che un operatore qualsiasi il sistema lascia inalterato il segnale di ingresso a meno di un fattore costante si ha:
 
:<math>u_{out}(t) = \alpha u_{in}(t) \ </math>
 
dove il fattore costante <math>\alpha</math> è detto autovalore dell'operatore <math>\mathbf Z</math> e quindi <math>u_{in}(t)</math> è la relativa autofunzione.
 
Nei sistemi lineari e stazionari le [[Rappresentazione spettrale dei segnali|funzioni armoniche]] sono le autofunzioni e l'autovalore è la funzione:
 
:<math>k(i \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
 
▲detta [[funzione di trasferimento]]. La risposta in frequenza di un sistema lineare e stazionario <math>f(\omega)=k(i\omega)</math> è la [[trasformata di Fourier]] della risposta impulsiva. Quindi la risposta impulsiva e quella in frequenza sono una la trasformata dell'altra:
 
:<math>k(i \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
 
:<math>h(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} k(i \omega) e^{i\omega t} \, d\omega</math>
 
Quindi un sistema lineare e stazionario può essere studiato nel [[dominio del tempo]] attraverso la [[rappresentazione dinamica dei segnali]], cioè tramite la risposta all'impulso o al gradino unitario come visto nei sistemi lineari e stazionari, oppure può essere studiato nel [[dominio della frequenza]] sulla base della risposta in frequenza.
 
==Formalismo di Laplace==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Risposta_in_frequenza"