Differenze tra le versioni di "Risposta in frequenza"

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==Descrizione==
{{vedi anche|Rappresentazione spettrale dei segnali}}
Definire la risposta in [[frequenza]] di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita nel [[dominio della frequenza]]. Se il sistema è lineare, sollecitando una [[stabilità interna|configurazione stabile]] con una perturbazione periodica (un'oscillazione) il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. In particolare, per un [[sistema dinamico lineare stazionario|sistema lineare stazionario]] la risposta in frequenza è data dalla [[funzione di trasferimento]].
 
In [[elettronica]] e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i [[Filtro (elettronica)|filtri]] elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri [[filtro passa basso|passa basso]], [[filtro passa banda|passa banda]] o [[filtro passa alto|passa alto]] grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di [[Filtro attivo|filtri attivi]], la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli [[Amplificatore (elettronica)|amplificatori]] lineari e negli amplificatore a [[retroazione]].
 
==Formalismo di Laplacematematico==
===Serie di Fourier===
{{vedi anche|Rappresentazione spettrale dei segnali}}
La determinazione della risposta ad un segnale periodico <math>s(t)</math> di forma qualsiasi si calcola a partire dallo sviluppo in [[serie di Fourier]] del segnale medesimo:
 
 
:<math>f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_n)e^{j\omega_nt}d\omega_n</math>
 
In molti testi l'analisi in frequenza è realizzata mediante l'utilizzo della [[trasformata di Laplace]], che rende possibile il superamento di alcune difficoltà matematiche che si presentano con la [[trasformata di Fourier]]. La trasformata di Laplace <math>L[f(t)]</math> di una funzione <math>f(t)</math> è:
 
:<math>L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt</math>
 
In generale questo formalismo conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli; infatti, nel [[dominio della frequenza]] a operazioni di natura infinitesimale su funzioni nel tempo corrispondono operazioni di tipo algebrico delle relative trasformate. Si procede poi al recupero della funzione nel tempo attraverso opportuna anti-trasformazione.
 
== Sistemi dinamici lineari ==
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
La risposta in uscita di un [[sistema dinamico lineare]] ha la stessa forma e la stessa frequenza del segnale d'entrata, ma vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase.
Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]] (a coefficienti costanti se il sistema è [[Sistema dinamico lineare stazionario|stazionario]]), applicando un segnale sinusoidale <math>x(t)=X_m \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>X_m</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=U_m \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_m (\omega) / X_m (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
 
=== Sistemi LTI ===
Se <math>x(t)</math> è un segnale in ingresso ad un sistema LTI la sua risposta <math>y</math> può essere scritta come:
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
SeDetto <math>x(t)</math> è un segnale in ingresso ad un sistema LTI la sua rispostae <math>y</math> la sua risposta, l'equazione che governa il sistema può essere scritta come:
 
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} y(t) + \dots + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} x(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} x(t) + \dots + b_0 x (t)</math>
 
Lae la funzione di trasferimento è data da:
 
:<math>k(i \omega) = \frac{b_m (i \omega)^m + b_{m-1} (i \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (i \omega)^n + a_{n-1} (i \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
 
Si tratta della [[trasformata di Laplace]] della [[risposta impulsiva]] <math>h</math>, ovvero:
cioè la risposta in frequenza per qualsiasi sistema dinamico lineare è una funzione razionale di <math>i \omega</math> con coefficienti uguali al sistema.
 
La risposta in frequenza di un sistema lineare e stazionario <math>f(\omega)=k(i\omega)</math> è la [[trasformata di Laplace]] della [[risposta impulsiva]] <math>h</math>. Quindi la risposta impulsiva e quella in frequenza sono una la trasformata dell'altra:
 
:<math>k(i \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
:<math>h(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} k(i \omega) e^{i\omega t} \, d\omega</math>
 
La risposta impulsiva e quella in frequenza sono dunque una la trasformata dell'altra.
==Formalismo di Laplace==
{{Vedi anche|Trasformata di Laplace}}
L'analisi nel campo complesso è realizzata mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace, che rende possibile il superamento delle difficoltà operazionali connaturali all'analisi nel dominio dei numeri reali.
 
=== Teorema della risposta armonica ===
La trasformata di Laplace è una operazione che si esegue sulle funzioni di variabile reale per trasformarle in funzioni di variabile complessa. Tale trasformazione conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli, in quanto, a operazioni di natura infinitesimale corrispondono nelle funzioni trasformate a operazioni di tipo algebrico. Eseguite le operazioni su queste ultime, si procede al recupero della funzione nel campo reale attraverso opportuna antitrasformazione. Entrambe le operazioni vengono normalmente eseguite con l'aiuto di apposite tabelle, data la corrispondenza biunivoca fra una funzione e la sua trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace L[f(t)] di una f(t) risulta definibile come segue:
 
:<math>L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt</math>
 
Per affrontare l'analisi di un sistema dinamico è necessario disporre di una descrizione matematica del comportamento del sistema stesso, cioè di disporre del suo modello matematico: sistemi analoghi sono quelli che sono descritti dallo stesso modello matematico. È evidente che i modelli risulteranno differenziati nei loro parametri, le cui dimensioni e valori dipendono dalla natura del sistema e delle unità costituenti. L'analisi del sistema si adempie tramite l'analisi della soluzione di una equazione differenziale che risulta agevolata dall'impiego della trasformata di Laplace. L'analisi transitoria del comportamento di un circuito elettrico, costituito da una resistenza ed una induttanza in serie si concretizza come segue:
 
:<math>L\frac{di}{dt}+Ri=E</math>
 
di cui la trasformata è:
 
:<math>L[si(s)-i(0+)]+Ri(s)=\frac{E}{s}</math>
 
Risolvendo per <math>i(s)</math>, posto <math>i(0+)=0</math>, risulta:
 
:<math>i(s)=\frac{E}{s(sL+R)}</math>
 
la cui antitrasformata è:
 
:<math>i=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{Rt}{L}})</math>
 
== Teorema della risposta armonica ==
Il teorema della risposta armonica afferma che un sistema lineare e stazionario, sollecitato da un ingresso sinuisoidale di pulsazione <math>\omega</math>:
 
dove <math>\ \angle G(j \omega ) </math> è la fase.
 
LaInfatti, la [[trasformata di Laplace]] del segnale di ingresso <math>\ x(t)= A \sin(\omega t)</math> è:
===Dimostrazione===
La [[trasformata di Laplace]] del segnale di ingresso <math>\ x(t)= A \sin(\omega t)</math> è:
 
:<math>\ X(s)= \frac{A \omega}{(s^2+ \omega ^2)}</math>
 
Pertanto il teorema è dimostrato.
 
==Esempio==
Si consideri un [[circuito elettrico]] costituito da una [[resistore|resistenza]] ed una [[induttanza]] posti in serie. L'equazione che lo caratterizza è:
 
:<math>L\frac{di}{dt}+Ri=E</math>
 
di cuiEffettuando la trasformata è:
 
:<math>L[si(s)-i(0+)]+Ri(s)=\frac{E}{s}</math>
 
Risolvendoe risolvendo per <math>i(s)</math>, posto <math>i(0+)=0</math>, risulta:
 
:<math>i(s)=\frac{E}{s(sL+R)}</math>
 
la cui antitrasformata è:
 
:<math>i=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{Rt}{L}})</math>
 
== Bibliografia ==
39 163

contributi