Differenze tra le versioni di "Risposta in frequenza"

m
nessun oggetto della modifica
m
m
In [[Analisi dei sistemi dinamici|teoria dei sistemi dinamici]], la '''risposta in frequenza''' o '''risposta armonica''' di un [[sistema dinamico]] è la descrizione della sua [[output|uscita]] (una funzione del tempo) utilizzando come variabile la [[frequenza]] invece che il tempo (ovvero nel [[dominio della frequenza]]). La descrizione in frequenza di un sistema dinamico, da un punto di vista matematico, avviene tramite il formalismo della [[rappresentazione spettrale dei segnali]].
 
L'analisi in frequenza del comportamento di un sistema viene svolta molto spesso quando si ha a che fare con [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] (in configurazione [[teoria della stabilità|stabile]]), i quali hanno la fondamentale proprietà di rispondere ad un input puramente sinusoidale con un'uscita della stessa frequenza, ovvero restituiscono la medesima sinusoide in ingresso sfasata e moltiplicata per un fattore scalare. Se il sistema è un [[sistema dinamico lineare stazionario]] (LTI) tale fattore moltiplicativo non varia nel tempo; per tale motivo la risposta in frequenza di sistemi LTI viene caratterizzata completamente dalla [[Risposta impulsiva|risposta all'impulso]], cioè dall'uscita del sistema quando in ingresso vi è un solo impulso che contiene tutte le frequenze, come un impulso a [[delta di Dirac]]. La risposta in frequenza è in tal caso esplicitata dalla [[funzione di trasferimento]] (definita come la [[trasformata di Laplace]] della risposta all'impulso a delta di Dirac.
<!--Non è stata invece sviluppata una teoria completa per i sistemi tempo-invarianti che non sono lineari.-->
 
==Descrizione==
Definire la risposta in [[frequenza]] di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita nel [[dominio della frequenza]]. Se il sistema è lineare, sollecitando una [[stabilità interna|configurazione stabile]] con una perturbazione periodica (un'oscillazione) il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. In particolare, per un [[sistema dinamico lineare stazionario|sistema lineare stazionario]] la risposta in frequenza è data dalla [[funzione di trasferimento]].
 
In [[elettronica]] e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i [[Filtro (elettronica)|filtri]] elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri [[filtro passa basso|passa basso]], [[filtro passa banda|passa banda]] o [[filtro passa alto|passa alto]] grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di [[Filtro attivo|filtri attivi]], la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli [[Amplificatore (elettronica)|amplificatori]] lineari e negli amplificatore a [[retroazione]].
 
==Formalismo matematiconel dominio della frequenze==
{{vedi anche|Rappresentazione spettrale dei segnali}}
La determinazione della risposta ad un segnale periodico <math>s(t)</math> di forma qualsiasi si calcola a partire dallo sviluppo in [[serie di Fourier]] del segnale medesimo:
:<math>B_n=\frac{2}{T}\int_{0}^T{s(t)\sin (n\omega_0t})dt</math>
 
Per segnali non periodici si deve ricorrere ad una [[trasformata integrale]], come la [[trasformata di Fourier]]. In molti testi l'analisi in frequenza è realizzata mediante l'utilizzo della [[trasformata di Laplace]], che rende possibile il superamento di alcune difficoltà matematiche che si presentano con la [[trasformata di Fourier]]. La trasformata di Laplace <math>L[f(t)]</math> di una funzione <math>f(t)</math> è:
 
:<math>f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_n)e^{j\omega_nt}d\omega_n</math>
 
In molti testi l'analisi in frequenza è realizzata mediante l'utilizzo della [[trasformata di Laplace]], che rende possibile il superamento di alcune difficoltà matematiche che si presentano con la [[trasformata di Fourier]]. La trasformata di Laplace <math>L[f(t)]</math> di una funzione <math>f(t)</math> è:
 
:<math>L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt</math>
In generale questo formalismo conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli; infatti, nel [[dominio della frequenza]] a operazioni di natura infinitesimale su funzioni nel tempo corrispondono operazioni di tipo algebrico delle relative trasformate. Si procede poi al recupero della funzione nel tempo attraverso opportuna anti-trasformazione.
 
== Sistemi dinamici lineari ==
Definire la risposta in [[frequenza]] di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita nel [[dominio della frequenza]]. La risposta in uscita di un [[sistema dinamico lineare]] ha la stessa forma e la stessa frequenza del segnale d'entrata, ma vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase: sollecitando una [[stabilità interna|configurazione stabile]] con una perturbazione periodica (un'oscillazione) il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. In particolare, per un [[sistema dinamico lineare stazionario|sistema lineare stazionario]] la risposta in frequenza è data dalla [[funzione di trasferimento]].
 
Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]] (a coefficienti costanti se il sistema è [[Sistema dinamico lineare stazionario|stazionario]]), applicando un segnale sinusoidale <math>x(t)=X_m \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>X_m</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=U_m \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_m (\omega) / X_m (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
 
=== Sistemi LTI ===
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
Detto <math>x(t)</math> un segnale in ingresso ad un sistema LTI e <math>y</math> la sua risposta, l'equazione che governa il sistema può essere scritta come:
 
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} y(t) + \dots + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} x(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} x(t) + \dots + b_0 x (t)</math>
 
e la funzione di trasferimento è data da:
 
:<math>k(i \omega) = \frac{b_m (i \omega)^m + b_{m-1} (i \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (i \omega)^n + a_{n-1} (i \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
 
Si tratta della [[trasformata di Laplace]] della [[risposta impulsiva]] <math>h</math>, ovvero:
 
:<math>k(i \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
 
:<math>h(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} k(i \omega) e^{i\omega t} \, d\omega</math>
 
La risposta impulsiva e quella in frequenza sono dunque una la trasformata dell'altra.
 
=== Teorema della risposta armonica ===
 
Pertanto il teorema è dimostrato.
 
=== Sistemi LTI ===
{{Vedi anche|Funzione di trasferimento}}
Detto <math>x(t)</math> un segnale in ingresso ad un sistema LTI e <math>y</math> la sua risposta, l'equazione che governa il sistema può essere scritta come:
 
:<math>a_n \frac{d^n}{dt^n} y(t) + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} y(t) + \dots + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m}{dt^m} x(t) + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} x(t) + \dots + b_0 x (t)</math>
 
e la funzione di trasferimento è data da:
 
:<math>k(i \omega) = \frac{b_m (i \omega)^m + b_{m-1} (i \omega)^{m-1} + \dots + b_0}{a_n (i \omega)^n + a_{n-1} (i \omega)^{n-1} + \dots + a_0}</math>
 
Si tratta della [[trasformata di Laplace]] della [[risposta impulsiva]] <math>h</math>, ovvero:
 
:<math>k(i \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \cdot h(t) \, dt</math>
 
:<math>fh(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}F k(i \omega_nomega) e^{ji\omega_ntomega t} \, d\omega_nomega</math>
 
La risposta impulsiva e quella in frequenza sono dunque una la trasformata dell'altra.
 
==Esempio==
 
== Voci correlate ==
*[[Diagramma di Bode]]
*[[Dominio della frequenza]]
*[[Funzione di trasferimento]]
*[[Rappresentazione dinamica dei segnali]]
*[[Rappresentazione spettrale dei segnali]]
*[[Risposta impulsiva]]
*[[Sistemi lineari e stazionari]]
*[[Sistema dinamico lineare stazionario]]
*[[Regime sinusoidale]]
*[[SistemiTrasformata linearidi dinamiciLaplace]]
*[[Funzione di trasferimento]]
*[[Funzione di rete]]
*[[Diagramma di Bode]]
 
== Collegamenti esterni ==
39 163

contributi