Differenze tra le versioni di "Risposta in frequenza"

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In [[Analisi dei sistemi dinamici|teoria dei sistemi dinamici]], la '''risposta in frequenza''' o '''risposta armonica''' di un [[sistema dinamico]] è la descrizione della sua [[output|uscita]] (una funzione del tempo) utilizzando come variabile la [[frequenza]] invece che il tempo (ovvero nel [[dominio della frequenza]]). LaDa descrizioneun in frequenzapunto di unvista sistemamatematico dinamico,la dadescrizione unin puntofrequenza di vistaun matematico,sistema dinamico avviene tramite il formalismo della [[rappresentazione spettrale dei segnali]].
 
L'analisi in frequenza del comportamento di un sistema viene svolta molto spesso quando si ha a che fare con [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] (in configurazione [[teoria della stabilità|stabile]]), i quali hanno la fondamentale proprietà di rispondere ad un input puramente sinusoidale con un'uscita della stessa frequenza, ovvero restituiscono la medesima sinusoide in ingresso sfasata e moltiplicata per un fattore scalare. Se il sistema è un [[sistema dinamico lineare stazionario]] (LTI) tale fattore moltiplicativo non varia nel tempo; per tale motivo la risposta in frequenza di sistemi LTI viene caratterizzata completamente dalla [[Risposta impulsiva|risposta all'impulso]], cioè dall'uscita del sistema quando in ingresso vi è un solo impulso che contiene tutte le frequenze, comegeneralmente un impulso a [[delta di Dirac]]. La risposta in frequenza è in tal caso esplicitata dalla [[funzione di trasferimento]] (definita come la [[trasformata di Laplace]] della risposta all'impulso a delta di Dirac).
<!--Non è stata invece sviluppata una teoria completa per i sistemi tempo-invarianti che non sono lineari.-->
 
In [[elettronica]] e telecomunicazioni lasono rispostamolti ini frequenzadispositivi èutilizzati unper fattoreprodurre diuna grandeparticolare importanza,risposta chein caratterizza numerose applicazioni.frequenza; Tratra le applicazioni più comuni vi sono i [[Filtro (elettronica)|filtri]] elettrici, elettronici o ottici,. Si tratta di circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri [[filtro passa basso|passa basso]], [[filtro passa banda|passa banda]] o [[filtro passa alto|passa alto]] grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di [[Filtro attivo|filtri attivi]], la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli [[Amplificatore (elettronica)|amplificatori]] lineari e negli amplificatore a [[retroazione]].
 
==Formalismo nel dominio delle frequenze==
{{vedi anche|Rappresentazione spettrale dei segnali}}
LaSono determinazionestati dellasviluppati rispostamolti [[dominiostrumenti dellamatematici frequenza|inche frequenza]]consentono di addescrivere un segnale come sovrapposizione delle frequenze elementari che lo compongono. Nel caso si tratti di un segnale periodico <math>s(t)</math>, diè formapossibile qualsiasiuna siscrittura calcolain aserie di potenze partirenota dallocome sviluppo in [[serie di Fourier]] del segnale medesimo:
 
:<math>s(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty(A_n\cos (n \omega_0 t) +B_n \sin (n \omega_0 t))</math>
:<math>B_n=\frac{2}{T}\int_{0}^T{s(t)\sin (n\omega_0t})dt</math>
 
Per segnali non periodici si deve ricorrere ad una [[trasformata integrale|rappresentazione integrale]],; cometra le più comuni vi è la [[trasformata di Fourier]]., Inanche molti testi l'analisise in frequenzamolti ètesti realizzatasi mediantericorre lall'utilizzo della [[trasformata di Laplace]], che rende possibile il superamento di alcune difficoltà matematiche che si presentano con la [[trasformata di Fourier]]. La trasformata di Laplace <math>L[f(t)](s)</math> (nella variabile <math>s = i \omega</math>) di una funzione <math>f(t)</math> è:
 
:<math>L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt</math>
 
In generale questo formalismo conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli; infatti, nel [[dominio della frequenza]] a operazioni dicome naturala infinitesimale[[convoluzione]], sula [[derivata|derivazione]] o l'[[integrale|integrazione]] di funzioni nel tempo corrispondono operazioni di tipo algebrico delletra le relative trasformate. Si(rispettivamente procedeil poiprodotto aldelle recuperotrasformate, dellala funzionemoltiplicazione nelper tempo<math>s</math> e la attraversodivisione opportunaper anti-trasformazione<math>s</math>).
 
== Sistemi lineari ==
DefinireI la[[sistema rispostadinamico inlineare|sistemi [[frequenzalineari]] disono uncaratterizzati sistemadal consistefatto nello stabilire quale èche la relazioneloro frarisposta ingressoad eun uscitasegnale nel [[dominio della frequenza]]. La rispostaperiodico in uscitainput dicon ununa [[sistemacerta dinamico lineare]]frequenza ha la stessa forma e la stessa frequenza del segnale ddell'entrata, ma vi si differenzia nell'ampiezza e nella faseinput: sollecitando una [[stabilità interna|configurazione stabile]] con una perturbazione periodica (un'oscillazione) il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. In particolareEsplicitamente, perdato un [[sistema dinamico lineare stazionario|sistemastabile, linearein stazionario]]cui lail rispostalegame intra frequenzaingresso ed uscita è datarappresentato dallada una [[funzioneequazione didifferenziale trasferimentolineare]], applicando un segnale sinusoidale <math>x(t)=X_m \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>X_m</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=U_m \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_m (\omega) / X_m (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
 
Di particolare importanza sono i [[sistema dinamico lineare stazionario|sistemi lineari stazionari]], la cui la risposta non cambia nel tempo, e viene completamente descritta in frequenza dalla [[funzione di trasferimento]].
Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]], applicando un segnale sinusoidale <math>x(t)=X_m \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>X_m</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=U_m \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_m (\omega) / X_m (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
 
=== Teorema della risposta armonica ===
*[[Rappresentazione spettrale dei segnali]]
*[[Risposta impulsiva]]
*[[Sistema dinamico lineare]]
*[[Sistema dinamico lineare stazionario]]
*[[Trasformata di Laplace]]
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