Differenze tra le versioni di "Risposta in frequenza"

 
== Sistemi lineari ==
I [[sistema dinamico lineare|sistemi lineari]] sono caratterizzati dal fatto che la loro risposta ad un segnale periodico in input, conavente una certa frequenza, ha la stessa forma e la stessa frequenza dell'input: sollecitando una [[stabilità interna|configurazione stabile]] con una perturbazione periodica il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. Esplicitamente, dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]], applicando un segnale sinusoidale <math>x(t)=X_m \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>X_m</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=U_m \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_m</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_m (\omega) / X_m (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
 
Esplicitamente, dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una [[equazione differenziale lineare]], applicando un segnale sinusoidale <math>u(t)=U_0 \sin (\omega t)</math> di ampiezza <math>U_0</math> e frequenza <math>\omega</math> si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo <math>y(t)=Y_0 \sin (\omega t+\phi)</math>. L'ampiezza <math>Y_0</math> e lo sfasamento <math>\phi</math> sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze <math>Y_0 (\omega) / X_0 (\omega)</math> è detto guadagno per la frequenza <math>\omega</math>.
 
Un sistema lineare di <math>n</math> stati <math>\mathbf x \in \R^n</math>, <math>m</math> input <math>\mathbf u \in \R^n</math> e <math>q</math> uscite <math>\mathbf y \in \R^q</math> viene descritto da un'equazione del tipo:
 
:<math>\dot \mathbf x(t) = A \mathbf x(t)+B \mathbf u(t)</math>
:<math>\mathbf y(t) = C \mathbf x(t)+D \mathbf u(t)</math>
 
Il sistema è detto [[stabilità interna|stabile]] se tutti gli autovalori di <math>A</math> hanno parte reale negativa. Si dimostra che se l'ingresso è un'oscillazione del tipo <math>\mathbf u= \bar \mathbf u e^{st} </math>, con <math>\bar \mathbf u \in \R^n</math> un vettore arbitrario, allora lasciando evolvere il sistema l'uscita ha la forma:
 
<math>\lim_{t \to \infty} \mathbf y(t)= [D+C(sI-A)^{-1} B] \bar \mathbf u e^{st}</math>
 
dove <math>[D+C(sI-A)^{-1} B]</math> è il fattore ([[Guadagno (elettronica)|guadagno]]) per il quale è stato amplificato l'ingresso. Si vede in questo modo che ad un'oscillazione complessa corrisponde una risposta oscillante della stessa frequenza.
 
Di particolare importanza sono i [[sistema dinamico lineare stazionario|sistemi lineari stazionari]], la cui la risposta non cambia nel tempo, e viene completamente descritta in frequenza dalla [[funzione di trasferimento]].
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