Differenze tra le versioni di "Distribuzione binomiale"

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cdf_image = [[File:Binomial distribution cdf.svg|300px|Funzione di ripartizione]] |
parametri = <math>\begin{array}{l} p\in ]0,1[ \\ q=1-p \in ]0,1[\\ n\in\mathbb{N}\end{array}</math> |
supporto = <math>\{0, 1, ...\dotsc, n\}\ </math>|
pdf = <math>\textstyle {n\choose k} p^k q^{n-k}</math> |
cdf = <math>I_q(n-k,k+1)</math><br />([[funzione Beta di Eulero#Funzione beta incompleta|funzione Beta incompleta regolarizzata]]) |
}}
 
In [[teoria della probabilità]] la '''distribuzione binomiale''' è una [[distribuzione di probabilità]] [[distribuzione discreta|discreta]] che descrive il numero di successi in un [[processo di Bernoulli]], ovvero la [[variabile aleatoria]] <math>S_n=X_1+X_2+\ldotsdotsb+X_n</math> che somma <math>n</math> variabili aleatorie [[variabile indipendente|indipendenti]] di uguale [[distribuzione di Bernoulli]] <math>\mathcal{B}(p)</math>.
 
Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il ''successo'' con probabilità <math>p</math> e il ''fallimento'' con probabilità <math>q=1-p</math>.
 
La distribuzione di probabilità è:
:<math>P(k)\ =\ P(X_1+X_2+\ldotsdotsb+X_n=k)\ = \binom {n \choose k} p^k q^{n - k}</math>
cioè ogni successione con <math>k</math> successi e <math>n-k</math> insuccessi ha probabilità <math>p^kq^{n-k}</math>, mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o [[Combinazione|combinazioni]]) in cui possono essere disposti i <math>k</math> successi negli <math>n</math> tentativi, è dato dal [[coefficiente binomiale]] <math>\textstyle\binom {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
 
La formula del [[binomio di Newton]] mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale a <math>1</math>:
:<math>\sum_{k=0}^{n} P(S_n=k) = \sum_{k=0}^{n} {n \choosebinom n k} p^k q^{n - k} = (p+q)^n = (p + 1 - p)^n = (1)^n = 1</math>
 
=== Esempio ===
 
La probabilità di ottenere esattamente 3 volte "4" con 5 lanci (e 2 volte "non 4") è
:<math>P(S_5=3)\ = \binom {5\choose3}\ 3 (1/6)^3\ (5/6)^2\ =\ 10\ (1/6)^3\ (5/6)^2\ =\ 0{,}032...\dotso</math>
 
== Caratteristiche ==
Siccome la distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(n,p)</math> descrive una variabile aleatoria <math>S_n</math> definita come la somma di <math>n</math> variabili aleatorie indipendenti <math>X_i</math> di uguale [[Variabile casuale di Bernoulli|legge di Bernoulli]] <math>\mathcal{B}(p)</math>, molte caratteristiche di <math>S_n</math> possono essere ricavate da quelle di <math>X</math>:
* il [[valore atteso]]
:<math>E[S_n]\ =\ \sum_{i=1}^n E[X_i]\ =\ nE[X]\ =\ np</math>
* la [[varianza]]
:<math>\text{Var}(S_n)\ =\ \sum_{i=1}^n \textoperatorname{Var}(X_i)\ =\ n\textoperatorname{Var}(X)\ =\ npq</math>
* la [[funzione generatrice dei momenti]]
:<math>g(S_n,t)\ =\ \prod_{i=1}^n g(X_i,t) \ =\ g(X,t)^n\ =\ (q+pe^t)^n</math>
* la [[funzione caratteristica (teoria della probabilità)|funzione caratteristica]]
:<math>\phi_{S_n}(t)\ =\ \prod_{i=1}^n \phi_{X_i}(t) \ =\ \phi_{X}(t)^n\ =\ (q+pe^{it})^n</math>
* il coefficiente di [[simmetria (statistica)|skewness]]
:<math>\gamma_1\ =\ \frac{q-p}{\sqrt{npq}}</math>
* il coefficiente di [[curtosi]]
:<math>\gamma_2\ =\ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{pq}-6\right)</math>
 
La [[Moda (statistica)|moda]] di <math>S_n</math> si ottiene confrontando le probabilità successive <math>P(k+1)/P(k)</math>. Se <math>p(n+1)</math> è un [[numero intero]] allora <math>P(p(n+1))=P(p(n+1)-1)</math> e la moda non è unica; se invece <math>p(n+1)</math> non è un intero allora la moda è pari alla sua [[parte intera]] <math>[p(n+1)]</math>.
 
Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{S_n-E[S_n]}{\sqrt{\textoperatorname{Var}(S_n)}}\ =\ \lim_{n\to\infty}\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\ =\ \mathcal{N}(0,1)</math>
 
=== Generalizzazioni ===
Una generalizzazione della distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(p,n)</math> è la legge [[distribuzione Beta-binomiale]] <math>\Beta(a,b,n)</math>, che descrive la somma <math>S_n=X_1+X_2+...\dotsb+X_n</math> di <math>n</math> variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli <math>\mathcal{B}(P)</math>, dove <math>P</math> segue la legge Beta <math>\Beta(a,b)</math>. (Al contrario della distribuzione binomiale, le <math>X_i</math> non hanno lo stesso parametro.)
 
La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla [[Distribuzione di Panjer|ricorsione di Panjer]]: <math>P(k)=(-\tfrac{p}{q}+\tfrac{1}{k}\tfrac{(n+1)p}{q})P(k-1)</math>.
Nell'[[inferenza bayesiana]] si utilizzano particolari relazioni tra la distribuzione binomiale e altre distribuzioni di probabilità.
 
Se ''P'' è una variabile aleatoria che segue la [[distribuzione Beta]] <math>\Beta(a,b)</math> e ''S<sub>n</sub>'' è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(p,n)</math>, allora la [[probabilità condizionata]] da ''S<sub>n</sub>=x'' per ''P'' segue la distribuzione Beta <math>\Beta(a+x,b+n-x)</math>. In altri termini, la distribuzione Beta descrive ''P'' sia ''a priori'' che ''a posteriori'' di ''S<sub>n</sub>=x''.<br />
 
In particolare la [[distribuzione continua uniforme]] sull'intervallo [0,1] è un caso particolare di distribuzione Beta <math>\Beta(1,1)</math>, quindi la distribuzione per ''P'', a posteriori di ''S<sub>n</sub>=x'', segue la legge Beta <math>\Beta(x+1,n-x+1)</math>, che per inciso ha un [[massimo e minimo di una funzione|massimo]] in ''x/n''.
 
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