Teorema della curva di Jordan: differenze tra le versioni

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In [[topologia]], il '''teorema della curva di Jordan''' (dal nome dell'autore dello stesso [[Camille Jordan|Jordan]]''') afferma che ogni [[curva (matematica)|curva]] del [[piano (geometria)|piano]] non intrecciata divide il piano in due parti una "interna" e una "esterna". Il teorema venne dimostrato nel [[1905]] dal [[matematico]] [[Oswald Veblen]].
 
 
== Il teorema ==
 
L'enunciato matematico del teorema della curva di Jordan è il seguente:
<blockquote>
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</blockquote>
 
L'enunciato del teorema della curva di Jordan sembra ovvio, ma la sua dimostrazione non lo è per nulla. Il primo matematico che tentò di fornire una dimostrazione del teorema fu [[Bernard Bolzano]], dopo di lui moltissimi altri matematici tentarono di darne una dimostrazione, incluso lo stesso [[Camille Jordan]], dal quale il teorema prende il nome, ma nessuno riuscì a dare una dimostrazione corretta; solo nel 1905 il matematico [[Oswald Veblen]] riuscì nell'intento. Dopo quella data furono trovate altre dimostrazioni.
 
Una dimostrazione rigorosa di 200000 righe del teorema della curva di Jordan fu fornita nel [[2005]] da un team internazionale di matematici usando il [[sistema Mizar]].
 
== Generalizzazioni ==
 
Esiste una generalizzazione del teorema della curva di Jordan in dimensioni maggiori di 2.
 
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Esiste, inoltre, una generalizzazione del teorema della curva di Jordan in '''R'''<sup>2</sup> chiamato [[teorema di Jordan-Schönflies]] che afferma che ogni curva di Jordan nel piano può essere estesa ad un [[omeomorfismo]] del piano. Ciò rappresenta un risultato molto più forte del teorema della curva di Jordan, ma questa generalizzazione non è più vera in dimensioni maggiori di 2; la [[sfera cornuta di Alexander]] rappresenta un famoso controesempio: la componente illimitata del complemento della sfera di Alexander non è [[semplicemente connessa]], perciò la mappa della sfera di Alexander non può essere estesa a tutto '''R'''<sup>3</sup>.
 
 
== Riferimenti ==
 
* Oswald Veblen, ''Theory on plane curves in non-metrical analysis situs'', Transactions of the American Mathematical Society 6 (1905), pp. 83&ndash;98.
* Ryuji Maehara, ''The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem'', American Mathematical Monthly 91 (1984), no. 10, pp. 641&ndash;643.
 
 
== Collegamenti esterni ==
 
* [http://e-learn.mine.nu/mizar/mml/jordan.miz La dimostrazione formale del teorema della curva di Jordan] con il sistema computerizzato Mizar.
* [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan Materiale storico relativo al teorema della curva di Jordan]
* [http://www.math.auckland.ac.nz/class750/section5.pdf Una semplice dimostrazione del teorema della curva di Jordan] (PDF)
* [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/ Il sito di Andrew Ranicki dedicato al teorema della curva di Jordan]
 
 
 
[[Categoria:Topologia]]