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Campo elettrico

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dalla quale risulta che in assenza di cariche il potenziale è una [[funzione armonica]].
 
==== Condizioni al contorno ====
Risolvere l'[[equazione di Poisson]] in regioni di spazio limitate significa risolvere il problema generale dell'elettrostatica per opportune condizioni al contorno, come l'assenza o la presenza di conduttori e cariche elettriche localizzate. In particolare se ne distinguono tre tipi condizioni al contorno:
 
===== Condizioni al contorno di Dirichlet =====
{{vedi anche|Condizioni al contorno di Dirichlet}}
In questo caso non sono presenti cariche localizzate, ed il campo elettrostatico è generato da un sistema di [[conduttore elettrico|conduttori]] di geometria nota e potenziale noto. In questo caso vale l'equazione di Laplace, dove le condizioni al contorno sono che il potenziale sia nullo all'infinito e valga <math>V_{0i}</math> sulla superficie dei conduttori. Una volta ricavati i potenziali per ogni punto nello spazio risolvendo l'equazione di Laplace, si ricava il campo elettrostatico, ed è possibile determinare la densità di carica superficiali <math>\sigma_i</math> sui conduttori mediante il [[teorema di Coulomb]].<ref name=pot/> Infine, si può trovare la carica netta totale su tutti i conduttori e i coefficienti di capacità su questi tramite il sistema:<ref name=cond>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 109|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\begin{cases} Q_1 = c_{11} V_{01} + c_{12} V_{02} + \ldots + c_{1n} V_{0n} \\ Q_2 = c_{21} V_{01} + c_{22} V_{02} + \ldots + c_{2n} V_{0n} \\ \ldots \\ \ldots \\ Q_n = c_{n1} V_{01} + c_{n2} V_{02} + \ldots + c_{nn} V_{0n} \end{cases}</math>
 
che consente di ricavare i coefficienti.
 
===== Condizioni al contorno di Neumann =====
{{vedi anche|Condizioni al contorno di Neumann}}
 
In questo caso il campo elettrostatico è dato da un sistema di conduttori di geometria nota di cui sono note le cariche su ognuno. Si danno quindi dei potenziali arbitrari sui conduttori <math>V_{0}=V_{0i}^p</math> e si risolve il ''problema di Dirichlet'' come sopra. Dal momento che le cariche sono note ed i coefficienti di capacità sono indipendenti dalle cariche e dai potenziali, essendo dipendenti solo dal loro rapporto, dal sistema del caso precedente si ricavano i reali potenziali <math>V_{0}=V_{0i}</math>.<ref name=cond/>
 
===== Condizioni al contorno miste =====
Un esempio può essere quello di avere una distribuzione di carica <math>\rho</math> nota nello spazio ed un sistema di conduttori di cui si conoscono solo le cariche su ognuno. Il problema è quello di risolvere l'equazione di Poisson, e dal momento che non si conoscono i potenziali il problema diventa un sistema di equazioni del tipo:<ref name=cond/>
 
:<math>V_i = V_i(\rho)+\sum_i^N p_{ij}Q_j</math>
 
dove i numeri <math>p_{ij}</math> sono i coefficienti della matrice di potenziale. Per calcolare i potenziali si utilizza poi il metodo dei potenziali di prova.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 110|mencuccini}}</ref>
 
== Campo elettrico in condizioni non stazionarie ==
L'elettrostatica e la magnetostatica rappresentano due casi particolari di una teoria più generale, l'[[elettrodinamica]], dal momento che trattano i casi in cui i campi elettrico e magnetico non variano nel tempo. In condizioni stazionarie il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere infatti trattati indipendentemente l'uno dall'altro, tuttavia in condizioni non stazionarie i due campi appaiono come le manifestazioni di una stessa entità fisica: il [[campo elettromagnetico]].<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 351|mencuccini}}</ref>
 
Le stesse cariche che sono sorgente del campo elettrico, infatti, quando sono in moto generano un campo magnetico. Questo fatto è descritto dalle due leggi fisiche che correlano i fenomeni elettrici con quelli magnetici: la legge di Ampere-Maxwell e la sua simmetrica legge di Faraday, descritte nel seguito.
 
=== La legge di Faraday ===
{{vedi anche|Legge di Faraday}}
La legge di Faraday afferma che la [[forza elettromotrice]] indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del [[flusso magnetico]] del campo attraverso l'area abbracciata dal circuito nell'unità di tempo:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 353|mencuccini}}</ref>
 
: <math>f.e.m. = -{d\Phi_B \over dt}</math>
 
dove <math>\Phi_B</math> è il flusso del [[campo magnetico]] <math>\mathbf B</math>. Dalla definizione di [[forza elettromotrice]] la precedente relazione può essere scritta come:
 
: <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatorname{d}l = -{d \over dt}\int_S \mathbf B \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S</math>
 
applicando il [[teorema del rotore]] al primo membro:
 
:<math>\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatorname{d}l = \int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \mbox {d}\mathbf S</math>
 
si giunge a:
 
:<math>\int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S</math>
 
Uguagliando gli integrandi segue la forma locale della legge di Faraday, che rappresenta la terza equazione di Maxwell:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 361|mencuccini}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione
|titolo=Maxwell's Equations
|nome=Paul G.
|cognome=Huray
|editore=Wiley-IEEE
|anno=2009
|isbn=0-470-54276-4
|pagine=205
|url=http://books.google.com/books?id=0QsDgdd0MhMCp}}, [http://books.google.com/books?id=0QsDgdd0MhMC&pg=PA205 Chapter 7, p 205]
</ref>
 
: <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
 
Ovvero il campo elettrico può essere generato da un campo magnetico variabile nel tempo. Una conseguenza fondamentale della legge di Faraday è che il campo elettrico in condizioni non stazionarie non è più conservativo, dal momento che la sua circuitazione non è più nulla. Inoltre, avendo definito:
 
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>
 
dove <math>\mathbf{A}</math> è il [[potenziale vettore]] magnetico, dalla legge di Faraday segue che:
 
:<math>\nabla \times \left( \mathbf{E} + \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } \right) = 0</math>
 
Dal momento che il rotore è definito a meno di un gradiente, si ha:
 
:<math> \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }</math>
 
Il campo elettrico è così scritto in funzione dei potenziali associati al [[campo elettromagnetico]].
 
=== La legge di Ampere-Maxwell ===
{{vedi anche|Legge di Ampère|Corrente di spostamento}}
L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:
 
:<math> \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J \ </math>
 
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'[[equazione di continuità]] per la [[corrente elettrica]]:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 396|mencuccini}}</ref>
 
:<math> \nabla \cdot \mathbf J = -\frac {\partial \rho}{\partial t} </math>
 
Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
 
:<math> \nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)</math>
 
Il termine
 
:<math> \mathbf {J}_s = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf {E}}{\partial t}</math>
 
è detto corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 397|mencuccini}}</ref>
 
Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:<ref name=Cloude>{{Cita libro |titolo=An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas |autore=Raymond Bonnett, Shane Cloude |editore=Taylor & Francis |anno=1995 |url=http://books.google.com/books?id=gME9zlyG304C&pg=PA16&dq=wave+%22displacement+current%22&lr=&as_brr=0#PPA16,M1 |pagina=16|isbn=1-85728-241-8 }}</ref><ref name=Slater>{{Cita libro |titolo=Electromagnetism |autore=JC Slater and NH Frank |pagina=84 |url=http://books.google.com/books?id=GYsphnFwUuUC&pg=PA83&dq=displacement+%22ampere%27s+law%22&lr=&as_brr=0#PPA84,M1 |editore=Courier Dover Publications |anno=1969 |edizione=Reprint of 1947 edition|isbn=0-486-62263-0 }}</ref>
 
:<math> \mathbf { \nabla \times B} = \mu_0 \left(\mathbf J +\varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}\right)</math>
 
si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto.<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 398|mencuccini}}</ref> Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.
 
== Campo elettrico in presenza di dielettrici ==
{{vedi anche|Induzione elettrica|Polarizzazione elettrica}}
La presenza di materiale [[dielettrico]] nello spazio ove esista un campo elettrico <math>\mathbf E</math> modifica il campo stesso. Questo è dovuto al fatto che gli atomi e le molecole che compongono il materiale si comportano come [[dipolo elettrico|dipoli]] microscopici e si polarizzano in seguito all'applicazione di un campo elettrico esterno. L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore ''intensità di polarizzazione'', anche detto vettore di ''polarizzazione elettrica'' e indicato con <math>\mathbf P</math>, è il [[dipolo elettrico]] per unità di volume posseduto dal materiale.
 
La polarizzazione del dielettrico crea entro il materiale una certa quantità di [[carica elettrica]] indotta, detta carica di polarizzazione <math>\rho_p</math>. Introducendo tale distribuzione di carica nella prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del [[teorema del flusso]] per il campo elettrico, si ha:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 141|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} (\rho_f + \rho_p) = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho_f -\nabla\cdot\mathbf{P})</math>
 
dove <math>\rho_f</math> è la densità di cariche libere e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:
 
:<math>\nabla\cdot (\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}) = \rho_f </math>.
 
L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:<ref name=pol>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 142|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}</math>
 
E la prima equazione di Maxwell assume la forma:
 
:<math> \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho -\rho_p = \rho_f </math>
 
La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrco lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi <math>\mathbf{E}</math> e <math>\mathbf{D}</math> sono equivalenti a meno di un fattore di scala:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 143|mencuccini}}</ref>
 
: <math>\mathbf{D} = \varepsilon_r\varepsilon_0\mathbf{E}</math>
 
e di conseguenza:
 
: <math>\mathbf{P} = (\varepsilon_r-1)\varepsilon_0\mathbf{E} = \varepsilon_{0} \chi \mathbf{E},</math>
 
La grandezza <math>\varepsilon_r</math> è la [[costante dielettrica]] relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora <math>\varepsilon</math> dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato.
 
Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:
 
:<math> \mathbf{D(\omega)} = \varepsilon (\omega) \mathbf{E}(\omega)</math>
 
dove <math>\omega</math> è la frequenza del campo.
 
=== Equazioni di Maxwell in presenza di dielettrici ===
{{vedi anche|Equazioni di Maxwell}}
Inserendo il vettore di induzione elettrica nelle equazioni di Maxwell nei materiali, considerando il caso in cui il dielettrico sia perfetto e [[isotropia|isotropo]] e ponendo che anche per il campo magnetico nei materiali sussista una relazione di linearità, si ha:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 458|mencuccini}}</ref><ref name=max>{{Cita|Jackson|Pag. 238|Jackson}}</ref>
 
:<math>\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho</math>
:<math>\nabla \cdot \mathbf{B}= 0</math>
:<math>\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>
:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \frac{ \partial \mathbf{D} }{ \partial t } </math>
 
dove <math>\mathbf{H}</math> è il campo magnetico nei materiali, e costituisce l'analogo del vettore induzione elettrica per la [[polarizzazione magnetica]].
 
=== Condizioni di raccordo tra dielettrici ===
Considerando [[Dielettrico|dielettrici]] perfetti ed isotropi, è possibile definire le condizioni di raccordo del campo elettrostatico quando attraversa due dielettrici di [[Costante dielettrica|costante dielettrica relativa]] <math>\varepsilon_1</math> e <math>\varepsilon_2</math>. Sulla superficie di separazione si consideri una superficie cilindrica di basi <math>\operatorname{d} \mathbf S</math> e altezza <math>\operatorname{d} l</math> infinitesima, di ordine di grandezza superiore alla base. Applicando il [[Teorema del flusso|flusso di Gauss]] uscente dalle basi si evince che il flusso infinitesimo è nullo poiché non vi sono cariche libere localizzate al suo interno:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 147|mencuccini}}</ref>
 
:<math>0 = \Phi_{\mathbf D} = \mathbf D_1 \cdot \operatorname{d} \mathbf S + \mathbf D_2 \cdot \operatorname{d} \mathbf S = \operatorname{d}S (D^{n}_{1} - D^{n}_{2})</math>
 
dove <math>D^n_1 = D^n_2</math> sono le componenti normali del campo di spostamento elettrico. In termini di campo elettrico si ha quindi:
 
:<math>\varepsilon_1 E^{n}_{1} = \varepsilon_2 E^{n}_2 </math>
 
Per la componente tangenziale del campo elettrico vale il [[teorema di Coulomb]], ovvero la direzione del campo elettrico è normale alla superficie del conduttore, e pertanto la componente tangenziale si conserva:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 148|mencuccini}}</ref>
 
:<math> E^{t}_1 = E^{t}_2</math>
 
In termini di campo di spostamento elettrico:
 
:<math>\frac{D^{t}_1}{\varepsilon_1} = \frac{D^{t}_2}{\varepsilon_2}</math>
 
Attraversando la superficie di separazione tra due dielettrici perfetti ed isotropi, quindi, la componente normale del campo elettrico subisce una discontinuità mentre quella tangenziale non si modifica, viceversa per il campo di spostamento elettrico. Unendo le due relazioni si ottiene la legge di rifrazione delle linee di forza del campo elettrico:
 
:<math>\frac{E^{t}_1}{\varepsilon_1 E^{n}_1} = \frac{E^{t}_2}{\varepsilon_2 E^{n}_2}</math>
 
e dunque:
 
:<math>\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>
 
dove
 
:<math>\tan \theta = \frac{E^t}{E^n}</math>
 
è l'angolo di rifrazione.
 
== Il campo elettromagnetico ==
{{vedi anche|Campo elettromagnetico}}
Il campo elettromagnetico è dato dalla combinazione del campo elettrico <math>\mathbf E</math> e del [[campo magnetico]] <math>\mathbf B</math>, solitamente descritti con [[vettore (matematica)|vettori]] in uno spazio a tre dimensioni. Il campo elettromagnetico interagisce nello spazio con [[Carica (fisica)|cariche]] [[Carica elettrica|elettriche]] e può manifestarsi anche in assenza di esse, trattandosi di un'entità fisica che può essere definita indipendentemente dalle sorgenti che l'hanno generata. In assenza di sorgenti il campo elettromagnetico è detto [[radiazione elettromagnetica|onda elettromagnetica]],<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 147|Landau}}</ref> essendo un fenomeno [[onda (fisica)|ondulatorio]] che non richiede di alcun supporto materiale per diffondersi nello spazio e che nel [[vuoto (fisica)|vuoto]] viaggia alla [[velocità della luce]]. Secondo il [[modello standard]], il [[quanto]] della radiazione elettromagnetica è il [[fotone]], mediatore dell'[[interazione elettromagnetica]].
 
La variazione temporale di uno dei due campi determina il manifestarsi dell'altro: campo elettrico e campo magnetico sono caratterizzati da una stretta connessione, stabilita dalle quattro [[equazioni di Maxwell]]. Le equazioni di Maxwell, insieme alla [[forza di Lorentz]], definiscono formalmente il campo elettromagnetico e ne caratterizzano l'interazione con oggetti carichi. Le prime due equazioni di Maxwell sono omogenee e valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali, e rappresentano in forma differenziale la [[Legge di Faraday]] e la legge di Gauss per il campo magnetico. Le altre due equazioni descrivono il modo con cui il materiale in cui avviene la propagazione interagisce, polarizzandosi, con il campo elettrico e magnetico, che nella materia sono denotati con <math>\mathbf D</math> e <math>\mathbf H</math>. Esse mostrano in forma locale la [[Legge di Gauss]] elettrica e la [[Legge di Ampère|Legge di Ampère-Maxwell]].
 
La forza di Lorentz è la [[forza]] <math>\mathbf{F}</math> che il campo elettromagnetico genera su una carica <math>q</math> puntiforme:
 
:<math>\mathbf{F} = q ( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} )</math>
 
dove <math>\mathbf{v}</math> è la [[velocità]] della carica.
 
Le equazioni di Maxwell sono formulate anche in [[elettrodinamica quantistica]], dove il campo elettromagnetico viene [[quantizzazione del campo elettromagnetico|quantizzato]]. Nell'ambito della [[meccanica relativistica]], i campi sono descritti dalla teoria dell'[[elettrodinamica classica]] in forma [[covariante]], cioè invariante sotto [[trasformazione di Lorentz]]. Nell'ambito della [[teoria della Relatività]] il campo elettromagnetico è rappresentato dal [[tensore elettromagnetico]], un [[tensore]] a due indici di cui i vettori campo elettrico e magnetico sono particolari componenti.
 
== Note ==
{{references|2}}
 
== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |coautori=Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=2010 |cid= mencuccini |isbn= 978-88-207-1633-2}}
* {{Cita libro | autore=Lev D. Landau | coautori= Evgenij M. Lifshits| titolo=Fisica teorica 2 - Teoria dei campi| data=1976| editore=Editori Riuniti Edizioni Mir| città= Roma| ISBN=88-359-5358-8|cid= Landau}}
* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |cid= Jackson |isbn=0-471-30932-X |lingua=en }}
 
== Voci correlate ==
* [[Campo elettromagnetico]]
* [[Capacità elettrica]]
* [[Condensatore (elettrotecnica)]]
* [[Conduttore elettrico]]
* [[Corrente elettrica]]
* [[Costante dielettrica]]
* [[Demagnetizzazione adiabatica]]
* [[Dipolo elettrico]]
* [[Elettrofilatura]]
* [[Energia elettrica]]
* [[Equazioni di Maxwell]]
* [[Monopolo elettrico]]
* [[Polarizzazione nei materiali]]
* [[Potenziale elettrico]]
* [[Teorema del flusso]]
 
{{Portale|elettromagnetismo|fisica}}
 
[[Categoria:Elettromagnetismo| ]]
 
{{Categorie qualità}}