Differenze tra le versioni di "Teorema di Noether"

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==Enunciato==
Dato un sistema <math>\mathbf{q}=(q_1,\dots,q_n)</math> ad <math>n</math> gradi di libertà ([[coordinate generalizzate]]) con velocità <math>\mathbf{ \dot q}=(\dot q_1,\dots, \dot q_n)</math> ed una funzione <math> \mathbf f(t)</math>, se in seguito alla trasformazione infinitesima:
 
:<math>t \to t \qquad q_i(t) \to q_i(t) + \epsilon f_i(t) \qquad \dot q_i(t) \to \dot q_i(t) + \epsilon \dot f_i(t)</math>
 
la [[lagrangiana]] <math>L(\mathbf q, \mathbf \dot q,t)</math> non cambia, allora le quantità:
 
:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i}f_i</math>
 
sono costanti del moto, ovvero si [[legge di conservazione|conservano]].<ref>[http://phys.columbia.edu/~nicolis/NewFiles/Noether_theorem.pdf Alberto Nicolis - The Noether theorem]</ref>
 
Nel caso di una trasformazione che coinvolge anche il tempo, ovvero <math>t \to t + \epsilon </math>, si ha che:
 
:<math>\frac{dL}{ dt} = \frac{\partial L}{ \partial t} + \sum_i \left[ \frac{\partial L}{ \partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \ddot q_i \right]</math>
 
e dal momento che l'[[equazione del moto]] ha la forma:
 
:<math>\frac{\partial L}{ \partial q_i} = \frac{d}{ dt} \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \qquad \forall i</math>
 
il primo termine tra parentesi può essere riscritto in modo da avere:
 
:<math>\frac{dL}{ dt} = \frac{\partial L}{ \partial t} + \sum_i \left[ \frac{d}{ dt} \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \dot q_i + \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \ddot q_i \right]</math>
 
ovvero:
 
:<math>\frac{dH}{ dt} = -\frac{\partial L}{ \partial t}</math>
 
dove <math>H</math> è l'[[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]], la [[trasformata di Legendre]] della lagrangiana:
 
:<math>H (\mathbf{q},\mathbf p,t) = [ \mathbf{p} \cdot \dot \mathbf q - L (\mathbf{q},\dot \mathbf q,t) ]_{\dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf q,\mathbf{p},t)} </math>
 
con:
 
:<math>p_j = {\partial L (\mathbf q, \mathbf \dot q,t) \over \partial \dot{q}_j} \qquad \mathbf p = {\partial L (\mathbf q, \mathbf \dot q,t) \over \partial \dot{\mathbf q}}</math>
 
==Teoria dei campi==
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