Differenze tra le versioni di "Teorema di Noether"

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dove <math>p</math> è il [[meccanica hamiltoniana|momento coniugato]] alla coordinata <math>q</math>.
 
Il teorema, che viene spesso anche formulato per il funzionale [[Azione (fisica)|azione]], fu pubblicato da Emmy Noether nel [[1918]] nell'articolo "Invariante Variationsprobleme", apparso sul ''Gottinger Nachrichten''.<ref>[http://www.math.cornell.edu/~templier/junior/The-Noether-theorems.pdf Yvette Kosmann-Schwarzbach - The Noether Theorems]</ref><ref>E. Noether, [http://www.physics.ucla.edu/~cwp/articles/noether.trans/english/mort186.html ''Invariante Variationsprobleme'']. Göttingen 1918, pp. 235-257. Traduzione di M.A. Tavel in ''Transport Theory and Statistical Mechanics'' (1971), pp. 183-207</ref>
 
==Introduzione==
Il teorema di Noether afferma che in tal caso la quantità <math>J = p \ dq(s)/ds</math> si conserva, cioè <math>\dot J=0</math>. Si dice che <math>J</math> è una [[costante del moto]].
 
In unomodo spazioequivalente, in ''n'' dimensionise il punto materiale ha una posizione <math>\mathbf q = (q_1,\dots,q_n)</math>, e se la lagrangiana non dipende da una qualche variabile <math>q_i</math> le [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:
 
:<math>\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} \qquad i=1,\dots ,n</math>
 
mostrano che <math>\partial L / \partial {q}_i = 0</math> implica che la quantità <math>p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i</math> si [[legge di conservazione|conserva]], avendo derivata temporale nulla. Quando la lagrangiana è invariante rispetto ad una trasformazione spazialecontinua che coinvolge una o più variabili si dice che essa possiede una o più [[Simmetria (fisica)|simmetrie]].
 
Il teorema di Noether si può anche enunciare dicendo che se ill'[[Azione (fisica)|azione]] associata al moto del sistema (l'integrale rispetto al tempo della lagrangiana) ha una proprietà di simmetria continua allora vi sono delle corrispondenti quantità il cui valore rimane costante nel tempo, ovvero che si conservano.<ref>{{Cita libro |autore=Thompson, W.J. |titolo=Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems |editore=Wiley |anno=1994 |volume=1 |pagine=5 |url=http://books.google.com.au/books?id=O25fXV4z0B0C&pg=PA5#v=onepage&q&f=false|isbn=0-471-55264-X }}</ref> IlNello ruolospecifico delle equazioni di Eulero-Lagrange nella descrizione matematica e nella dimostrazione del teorema rispecchia il fatto cheimponendo l'evoluzioneinvarianza didell'azione un sistema fisico è caratterizzata dal [[principio variazionale di Hamilton]], secondo il quale un oggettoinvece che sidella muovesola nellolagrangiana [[spaziola dellequantità fasi]]conservata compiepresenta un percorsotermine che minimizza l'integrale rispetto al tempo della lagrangiana. Questo integrale è l'[[Azione (fisica)|azione]], e per ogni simmetria dell'azione vi è una [[legge di conservazione]]aggiuntivo.
 
==Enunciato==
Se dunque <math>L</math> non dipende esplicitamente dal tempo (<math>-\partial L / \partial t = 0)</math>) allora <math>H</math> si conserva (<math>dH / dt = 0</math>, ovvero <math>H=cost.</math>).
 
==Simmetrie dell'azione==
==Teoria dei campi==
Dato un vettore di [[funzione differenziabile|funzioni differenziabili]] <math>\boldsymbol\phi</math>, l'azione è data dall'integrale:
Nella versione generale il teorema di Noether si applica a [[Campo (fisica)|campi]] [[funzione continua|continui]] definiti nelle quattro dimensioni [[spaziotempo|spaziotemporali]]. Si consideri un insieme <math>\boldsymbol \phi</math> di campi [[funzione differenziabile|differenziabili]] (come ad esempio la [[temperatura]] <math>T(\mathbf x,t)</math>, che ad ogni punto dello spazio associa un valore scalare), ai quali si può applicare il [[principio variazionale di Hamilton]]. L'azione è data da un integrale nello spaziotempo:
 
:<math>I = \int \mathcal L \left(\boldsymbol\phi, \partial_\mu{\boldsymbol\phi}, x^\mu \right) \, d^4 x</math>
 
con <math>x^\mu</math> le coordinate [[spazio-tempo|spaziotemporali]]. Si può ottenere un'ulteriore generalizzazione ponendo che la lagrangiana dipenda non solo da <math>\boldsymbol \phi</math> e <math>\partial_\mu{\boldsymbol\phi}</math>, ma anche dalle derivate successive.
 
Si supponga che la lagrangiana sia invariante rispetto ad un insieme di trasformazioni delle coordinate e dei campi:
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