Differenze tra le versioni di "Teorema di Noether"

tre derivazione bastano
(tre derivazione bastano)
 
==Simmetrie dell'azione==
Il teorema di Noether può essere enunciato considerando, in luogo delle simmetrie della lagrangiana, il funzionale integrale [[Azione (fisica)|azione]] <math>I</math>:
 
:<math>I = \int L(\mathbf q, \mathbf \dot q,t) dt</math>
==Dimostrazione==
=== Dimostrazione 1===
Per l'invarianza della lagrangiana è possibile scrivere:
 
: <math>\frac{\partial}{\partial s} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})|_{s=0} = \sum_{i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = 0</math>
 
ma, dato che
 
: <math>\frac{\partial \mathbf{\dot{q}}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) = \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0)</math>
 
si ha che, invertendo l'ordine di derivazione,
 
: <math>\sum_{i} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{q}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) - \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) + \frac{\operatorname d}{\operatorname d t} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{\dot{q}}_i} (\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}) \frac{\partial \mathbf{q}_i}{\partial s} (\mathbf{Q},0) \right) \right]=0</math>
 
L'asserto, quindi, segue direttamente dalle equazioni della meccanica: infatti, i primi due addendi della sommatoria costituiscono le [[equazioni di Eulero Lagrange]]; quindi, la loro somma algebrica risulta zero per ogni indice; rimane, quindi, la derivata totale rispetto al tempo dell'ultima quantità che è uguale a zero; pertanto, dalle note regole di derivazione tale quantità e necessariamente costante, il che dimostra il teorema.
 
===Dimostrazione 2===
Si consideri un sistema fisico descritto da un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\psi</math>. Quando una certa quantità è invariante per una trasformazione del sistema allora la corrispondente [[lagrangiana]] è simmetrica, ossia se <math>\psi</math> si trasforma per una trasformazione infinitesima <math>\alpha</math> come:
 
:<math>\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \Delta \psi - \mathcal {J}^\mu \right) = 0</math>
 
===Dimostrazione 2===
Questo risultato dimostra il teorema di Noether.
 
==Derivazioni==
Il caso più semplice è quello di un sistema di una variabile indipendente, il tempo. Si può ricavare il teorema anche a partire da una [[varietà differenziabile]].
 
===Una variabile indipendente===
Si supponga che le variabili dipendenti <math>\mathbf q</math> siano tali che l'[[Azione (fisica)|azione]], data dall'integrale della [[lagrangiana]]:
 
Nella derivazione si è assunto che il flusso non varia nel tempo, ed un risultato più generale si ottiene in un modo equivalente.
 
===Dimostrazione 3===
===Varietà differenziabili===
Si consideri una [[Varietà differenziabile|varietà liscia]] <math>M</math> ed una varietà bersaglio <math>T</math>. Sia <math>\mathcal{C}</math> lo [[spazio delle configurazioni]] delle [[funzione liscia|funzioni lisce]] da <math>M</math> a <math>T</math>. In modo più generale si possono considerare sezioni del [[fibrato]] lungo <math>M</math>. In [[meccanica classica]], ad esempio, <math>M</math> è la varietà monodimensionale <math>\mathbb{R}</math> che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il [[fibrato tangente|fibrato cotangente]] dello spazio delle [[coordinate generalizzate|posizioni generalizzate]].
 
Se si integra la corrente di Noether su una sezione [[spaziotempo|di tipo tempo]] si ottiene una quantità conservata detta ''carica di Noether''.
 
== EsempiEsempio ==
 
Supponiamo di trattare un sistema bidimensionale, e di considerare una trasformazione di coordinate <math>\vec{x}=(x,y) \rightarrow \vec{f}</math> così definita:
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