Differenze tra le versioni di "Lagrangiana"

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{{nota disambigua|la Lagrangiana in [[ottimizzazione (matematica)|ottimizzazione]] non lineare|[[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]]}}
In [[fisica]], in particolare nella [[meccanica lagrangiana]], la '''lagrangiana''' di un [[sistema dinamico|sistema meccanico]] è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che ne caratterizza lo stato. In accordo con il [[principio variazionale di Hamilton|principio di minima azione]] ([[principio variazionale di Hamilton]]) un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza la somma (l'integrale [[Azione (fisica)|azione]]) dei valori della lagrangiana valutata in tutti i punti del cammino. A partire da ciò vengono scritte le [[equazioni del moto]] di [[equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]].
La '''lagrangiana''' è la [[Funzione (matematica)|funzione]] che caratterizza ogni sistema meccanico nell'ambito della [[meccanica lagrangiana]] e che consente di descriverne il moto per mezzo delle [[equazioni di Eulero-Lagrange]] o del [[principio di Hamilton]].
 
Nel descrivere sistemi fisici la lagrangiana è definita come la differenza tra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]] totale del sistema, e la sua invarianza rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di [[legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto ovvero [[costante del moto|costanti del moto]], in accordo con il [[teorema di Noether]].
Permettendo di ricavare le [[equazioni del moto]] di un sistema (esclusa l'influenza delle forze non conservative), la sua importanza risulta fondamentale in [[Meccanica (fisica)|meccanica]] e in numerosi altri ambiti della [[fisica]].
 
==La formulazione lagrangiana==
La [[meccanica lagrangiana]] è una ri-formulazione della [[meccanica classica]] utilizzando il [[principio variazionale di Hamilton|principio di minima azione]]. Tale formulazione lagrangiana gioca un ruolo importante nel consentire una più "profonda" comprensione della fisica, anche per il fatto che il principio di minima azione si applica anche alla [[meccanica quantistica]]. L'[[azione (fisica)|azione]] fisica e la [[Fase (segnali)|fase]] quanto-meccanica sono infatti legate dalle [[costante di Planck]], ed il principio dell'azione stazionaria può essere descritto attraverso l'interferenza costruttiva di [[funzione d'onda|funzioni d'onda]].
 
Il formalismo lagrangiano e il principio di minima azione sono anche strettamente legati al [[teorema di Noether]], che collega [[Costante del moto|quantità conservate]] del moto con le simmetrie continue di un sistema fisico. Questo ambiente fornisce un formalismo naturale per la "prima quantizzazione", includendo [[Commutatore (matematica)|commutatori]] tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.
 
== Definizione ==
PerLa il [[principio variazionale di Hamilton]], l'evoluzione temporalelagrangiana di un sistema meccanico minimizza l'[[Azione (fisica)|azione]]. La sua lagrangianafisico siè dimostradefinita esserecome la differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e l'[[energia potenziale]] totale <math>U</math>:
 
:<math> \mathcal{L}= T -U</math>
 
poiché le [[equazioni di Eulero-Lagrange]] per questa differenza equivalgono al [[secondo principio della dinamica]]. Più precisamente, indicando gli argomenti delle funzioni si ha che:
 
:<math> \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t)</math>
 
dove <math>q</math> denota le [[Coordinate euleriane e lagrangiane|coordinate lagrangianegeneralizzate]], che<math>\dot individuanoq</math> ile puntirispettive delvelocità sistema,e <math>t</math> è il tempo ed il punto è la [[derivata]] rispetto al tempo.
 
Se la lagrangiana è conosciuta allora le l[[equazione del moto|equazioni del moto]] del sistema possonopuò essere ottenutescritta connella laforma sostituzione diretta dell'espressione per la lagrangiana all'interno delledi [[equazioni di Eulero-Lagrange]]. La lagrangiana di un sistema non è unica, e: due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(q,t)</math>, ma la corrispondente equazione del moto è la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|titolo=Classical Mechanics |cognome1=Goldstein |nome1=Herbert |wkautore1=Herbert Goldstein |cognome2=Poole |nome2=Charles P. |cognome3=Safko |nome3=John L. |edizione=3rd |editore=Addison-Wesley |anno=2002 | isbn=978-0-201-65702-9 |p=21}}</ref><ref>{{Cita libro|cognome=Bell|nome=L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S.|titolo=Mechanics|anno=1999|editore=Butterworth-Heinemann|città=Oxford|isbn=978-0-7506-2896-9|p=4|edizione=3rd ed.}}</ref>
 
In un contesto più generale, si considerino una [[varietà differenziabile]] ''n''-dimensionale <math>M</math> ed una varietà <math>T</math> che costituisce l'[[metodo dei moltiplicatori di Lagrange|obiettivo]]. Sia inoltre <math>\mathcal{C}</math> lo spazio delle configurazioni delle [[funzione liscia|funzioni lisce]] da <math>M</math> a <math>T</math>. In meccanica classica, ad esempio, <math>M</math> è la varietà monodimensionale <math>\mathbb{R}</math> che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il [[fibrato tangente]] dello spazio delle [[coordinate generalizzate|posizioni generalizzate]]. Nella teoria dei campi, invece, <math>M</math> è la varietà [[spaziotempo]] e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato: per esempio, se ci sono ''m'' [[Campo scalare|campi scalari]] a valori reali <math>\phi_1 , \dots \phi_m</math> allora la varietà bersaglio è <math>\mathbb{R}^m</math>, mentre se il campo è un [[campo vettoriale]] reale allora la varietà bersaglio è [[isomorfismo|isomorfa]] a <math>\mathbb{R}^n</math>.
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