Lagrangiana: differenze tra le versioni
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In [[fisica]], in particolare nella [[meccanica lagrangiana]], la '''lagrangiana''' di un sistema fisico è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che ne caratterizza la dinamica, essendo per i [[sistema dinamico|sistemi meccanici]] la differenza tra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]] in ogni punto del percorso seguito durante il moto. In accordo con il [[
Nel descrivere sistemi fisici l'invarianza (simmetria) della lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di [[legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto, ovvero di [[costante del moto|costanti del moto]], in accordo con il [[teorema di Noether]].
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Se la lagrangiana è conosciuta allora l[[equazione del moto]] del sistema può essere scritta nella forma di [[equazioni di Eulero-Lagrange]]. La lagrangiana di un sistema non è unica: due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(q,t)</math>, ma la corrispondente equazione del moto è la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|titolo=Classical Mechanics |cognome1=Goldstein |nome1=Herbert |wkautore1=Herbert Goldstein |cognome2=Poole |nome2=Charles P. |cognome3=Safko |nome3=John L. |edizione=3rd |editore=Addison-Wesley |anno=2002 | isbn=978-0-201-65702-9 |p=21}}</ref><ref>{{Cita libro|cognome=Bell|nome=L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S.|titolo=Mechanics|anno=1999|editore=Butterworth-Heinemann|città=Oxford|isbn=978-0-7506-2896-9|p=4|edizione=3rd ed.}}</ref>
La lagrangiana viene talvolta
==Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange==
{{vedi anche|
Per il [[principio variazionale di Hamilton|principio di Hamilton]] le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le [[traiettoria|traiettorie]] ([[geodetica|geodetiche]]) del sistema nello spazio delle configurazioni, sono tali da rendere stazionario (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) l'integrale [[azione (fisica)|azione]] calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati.
Per il [[teorema di Noether]], inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata <math>q^\lambda </math> (detta in tal caso ''coordinata ciclica'') si ha, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange:
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}\right)=0</math>
e quindi <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda} </math> è una [[costante del moto]]
:<math>\mathcal{H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>
Se la [[matrice]] di componenti <math>\partial^2 \mathcal L / \partial\dot{q}^\lambda\partial\dot{q}^\mu</math> è inoltre invertibile, allora la lagrangiana si dice ''regolare'' e le equazioni di Eulero-Lagrange si possono scrivere come un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] di secondo grado in [[forma normale]]. Per una lagrangiana regolare allora la trasformazione di Legendre:
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== Densità di lagrangiana ==
In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'[[elettrodinamica]] e la [[teoria quantistica dei campi]], si definisce la ''densità di lagrangiana''
:<math>
dove <math>q' = (\partial q_i /\partial x_j) </math>, <math>\dot q =(\partial q_1 /\partial t, \dots ,\partial q_n /\partial t)</math> e <math>D \subset \R^k</math>.
:<math>\mathcal{
Tale funzione viene frequentemente introdotta al posto della lagrangiana, e nell'uso moderno <math>\rho_\mathcal{L}</math> è spesso chiamata semplicemente "lagrangiana" ed indicata con <math>\mathcal{L}</math>.
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* {{en}} Christoph Schiller (2005), [http://www.motionmountain.net/C-2-CLSB.pdf ''Global descriptions of motion: the simplicity of complexity''], [http://www.motionmountain.net Motion Mountain]
* {{en}} David Tong [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] (Cambridge lecture notes)
* {{springerEOM|titolo=Lagrangian|autore= I.V. Volovich}}
{{Portale|matematica|Meccanica}}
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