Differenze tra le versioni di "Lagrangiana"

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In [[fisica]], in particolare nella [[meccanica lagrangiana]], la '''lagrangiana''' di un sistema fisico è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che ne caratterizza la dinamica, essendo per i [[sistema dinamico|sistemi meccanici]] la differenza tra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]] in ogni punto del percorso seguito durante il moto. In accordo con il [[principio variazionale di Hamilton|principio di minima azione]] ([[principio variazionale di Hamilton]]), un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza la somma (l'integrale [[Azione (fisica)|azione]]) dei valori della lagrangiana valutata in tutti i punti del cammino. A partire da ciò vengono scritte le [[equazioni del moto]] di [[equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]].
 
Nel descrivere sistemi fisici l'invarianza (simmetria) della lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di [[legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto, ovvero di [[costante del moto|costanti del moto]], in accordo con il [[teorema di Noether]].
Se la lagrangiana è conosciuta allora l[[equazione del moto]] del sistema può essere scritta nella forma di [[equazioni di Eulero-Lagrange]]. La lagrangiana di un sistema non è unica: due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(q,t)</math>, ma la corrispondente equazione del moto è la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|titolo=Classical Mechanics |cognome1=Goldstein |nome1=Herbert |wkautore1=Herbert Goldstein |cognome2=Poole |nome2=Charles P. |cognome3=Safko |nome3=John L. |edizione=3rd |editore=Addison-Wesley |anno=2002 | isbn=978-0-201-65702-9 |p=21}}</ref><ref>{{Cita libro|cognome=Bell|nome=L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S.|titolo=Mechanics|anno=1999|editore=Butterworth-Heinemann|città=Oxford|isbn=978-0-7506-2896-9|p=4|edizione=3rd ed.}}</ref>
 
La lagrangiana viene talvolta definita, in un contesto più generale,espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima, ed è definita in generale come una funzione <math> \mathcal L : TM \times \R \to \R</math> sul [[fibrato tangente]] <math>TM</math> di una [[varietà differenziabile]] <math>M</math>, lo [[spazio delle configurazioni]] del sistema.
 
:<math>S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), \dots ,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}</math>
 
==Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange==
{{vedi anche|Principio variazionale di Hamilton|equazioniEquazioni di Eulero-Lagrange}}
Per il [[principio variazionale di Hamilton|principio di Hamilton]] le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le [[traiettoria|traiettorie]] ([[geodetica|geodetiche]]) del sistema nello spazio delle configurazioni, sono tali da rendere stazionario (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) l'integrale [[azione (fisica)|azione]] calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati.
I risultati della meccanica lagrangiana prescindono dal fatto che la lagrangiana sia data dalla differenza dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, e valgono per lagrangiane generiche <math>L(q^\lambda,\dot{q}^\lambda,t)</math> funzione delle coordinate <math>q^\lambda </math>, delle loro derivate rispetto al tempo <math>\dot{q}^\lambda </math> ed eventualmente del tempo. Nel seguito si suppone che le equazioni del moto siano le equazioni di Eulero-Lagrange ordinarie, e quindi il secondo membro sia nullo.
 
Per il principio di Hamilton le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange sono i [[punto stazionario|punti stazionari]] dell'integrale [[azione (fisica)|azione]] calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati, con coordinate rispettivamente <math>q^\lambda(t_0) </math> e <math>q^\lambda(t_1) </math>. Questo fatto lega fortemente la meccanica lagrangiana al [[calcolo delle variazioni]] e ha svariate applicazioni. In particolare, permette di dare una formulazione lagrangiana alle equazioni delle [[geodetica|geodetiche]].
 
Per il [[teorema di Noether]], inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata <math>q^\lambda </math> (detta in tal caso ''coordinata ciclica'') si ha, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange:
 
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}\right)=0</math>
 
e quindi <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda} </math> è una [[costante del moto]], o [[integrale primo]] o [[legge di conservazione|quantità conservata]].
 
LaSe [[trasformatain diparticolare Legendre]] dellala lagrangiana producenon ladipende funzioneesplicitamente dal tempo l'[[Meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] <math>\mathcal H</math> è una costante del moto; nello specifico tale quantità conservata ha la forma:
 
:<math>\mathcal{H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>
 
Se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo alloraovvero l'hamiltoniana è unala [[costantetrasformata deldi motoLegendre]] della lagrangiana. Se la lagrangiana è data dalla differenza di [[energia cinetica]] e [[energia potenziale|potenziale]], questa<math>\mathcal quantitàH</math> risulta pari alla loro somma, ovvero all'energia totale del sistema.
 
Se la [[matrice]] di componenti <math>\partial^2 \mathcal L / \partial\dot{q}^\lambda\partial\dot{q}^\mu</math> è inoltre invertibile, allora la lagrangiana si dice ''regolare'' e le equazioni di Eulero-Lagrange si possono scrivere come un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] di secondo grado in [[forma normale]]. Per una lagrangiana regolare allora la trasformazione di Legendre:
 
== Densità di lagrangiana ==
In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'[[elettrodinamica]] e la [[teoria quantistica dei campi]], si definisce la ''densità di lagrangiana'' nel<math>\rho_\mathcal{L}</math> seguentein modo tale che:
 
:<math>\rho_\mathcal{L} = \frac int_{dx \in D} {\rho_\mathcal{L} (q,\dot q, q',t,x) d x}{dV} </math>
 
dove <math>q' = (\partial q_i /\partial x_j) </math>, <math>\dot q =(\partial q_1 /\partial t, \dots ,\partial q_n /\partial t)</math> e <math>D \subset \R^k</math>.
dove <math>dV</math> è l'elemento di volume infinitesimo.
 
InAd esempio, in [[relatività speciale]] la densità di lagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno [[scalare di Lorentz]] locale., Poichée l'azione èviene l'integraledefinita nel tempo della lagrangiana, e la lagrangiana è a sua voltaattraverso l'integrale nello spazio tridimensionale della densità di lagrangiana:
 
:<math>\mathcal{LS} = \int_Vint_{\rho_\mathcalt_1}^{Lt_2} \mathrmmathcal{dL}^3 x}dt</math>
 
segue che l'azione può essere definita attraverso l'integrale sull'intero [[spazio tempo]]:
 
:<math>\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\rho_\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}</math>
 
Tale funzione viene frequentemente introdotta al posto della lagrangiana, e nell'uso moderno <math>\rho_\mathcal{L}</math> è spesso chiamata semplicemente "lagrangiana" ed indicata con <math>\mathcal{L}</math>.
* {{en}} Christoph Schiller (2005), [http://www.motionmountain.net/C-2-CLSB.pdf ''Global descriptions of motion: the simplicity of complexity''], [http://www.motionmountain.net Motion Mountain]
* {{en}} David Tong [http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html Classical Dynamics] (Cambridge lecture notes)
* {{springerEOM|titolo=Lagrangian|autore= I.V. Volovich}}
 
{{Portale|matematica|Meccanica}}
 
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