Differenze tra le versioni di "Lagrangiana"

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== Definizione ==
La lagrangiana <math>\mathcal{L}(\dot q, q, t) </math> di un sistema fisico è definita nello [[spazio delle configurazioni]] come la differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e l'[[energia potenziale]] totale <math>U</math>:
 
:<math> \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t)</math>
dove <math>q \in \R^n</math> denota le [[coordinate generalizzate]], <math>\dot q</math> le rispettive velocità e <math>t \in \R</math> è il tempo.
 
Se la lagrangiana è conosciuta allora l'[[equazione del moto]] del sistema può essere scritta nella forma di [[equazioni di Eulero-Lagrange]]. La lagrangiana di un sistema non è unica: due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(q,t)</math>, ma la corrispondente equazione del moto è la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|titolo=Classical Mechanics |cognome1=Goldstein |nome1=Herbert |cognome2=Poole |nome2=Charles P. |cognome3=Safko |nome3=John L. |edizione=3rd |editore=Addison-Wesley |anno=2002 | isbn=978-0-201-65702-9 |p=21}}</ref><ref>{{Cita libro|cognome=Bell|nome=L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and J.S.|titolo=Mechanics|anno=1999|editore=Butterworth-Heinemann|città=Oxford|isbn=978-0-7506-2896-9|p=4|edizione=3rd ed.}}</ref>
 
La lagrangiana viene talvolta espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima, ed è definita in generale come una funzione <math> \mathcal L : TM \times \R \to \R</math> sul [[fibrato tangente]] <math>TM</math> ad una [[varietà differenziabile]] <math>M</math>,(la lo [[spazio''varietà delle configurazioni]]'') in un delsuo sistemapunto.
 
==Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange==
Per il [[principio variazionale di Hamilton|principio di Hamilton]] le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le [[traiettoria|traiettorie]] ([[geodetica|geodetiche]]) del sistema nello spazio delle configurazioni, sono tali da rendere stazionario (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) l'integrale [[azione (fisica)|azione]] calcolato sulle possibili traiettorie tra due punti fissati.
 
Per il [[teorema di Noether]], inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata <math>q^\lambda q_i</math> (detta in tal caso ''coordinata ciclica'') si ha, attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange:
 
:<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda_i}\right)=0</math>
 
e quindi:
e quindi <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda} </math> è una [[costante del moto]] o [[integrale primo]] o [[legge di conservazione|quantità conservata]].
 
:<math>p_\lambdap_i=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda_i}</math>
 
e quindi <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda} </math> è una [[costante del moto]] o [[integrale primo]] o [[legge di conservazione|quantità conservata]].
 
Se in particolare la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo l'[[Meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] <math>\mathcal H</math> è una costante del moto; nello specifico tale quantità conservata ha la forma:
:<math>\mathcal{H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>
 
ovvero l'hamiltoniana è la [[trasformata di Legendre]] della lagrangiana. Se la lagrangiana è data dalla differenza di [[energia cinetica]] e [[energia potenziale|potenziale]] <math>\mathcal H</math> risulta pari alla loro somma, ovvero all'energia totale del sistema. Se inoltre la relazione <math>p_i= \partial \mathcal L / \partial\dot{q}_i</math> è invertibile le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle [[equazioni di Hamilton]] del sistema.
 
Se la [[matrice]] di componenti <math>\partial^2 \mathcal L / \partial\dot{q}^\lambda\partial\dot{q}^\mu</math> è inoltre invertibile, allora la lagrangiana si dice ''regolare'' e le equazioni di Eulero-Lagrange si possono scrivere come un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] di secondo grado in [[forma normale]]. Per una lagrangiana regolare allora la trasformazione di Legendre:
 
:<math>p_\lambda=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q}^\lambda}</math>
 
è invertibile, e le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle [[equazioni di Hamilton]] del sistema.
 
== Densità di lagrangiana ==
 
:<math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L} dt</math>
 
Tale funzione viene frequentemente introdotta al posto della lagrangiana, e nell'uso moderno <math>\rho_\mathcal{L}</math> è spesso chiamata semplicemente "lagrangiana" ed indicata con <math>\mathcal{L}</math>.
 
==Esempio==
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