Differenze tra le versioni di "Equazioni di Hamilton"

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In [[meccanica hamiltoniana]], le '''equazioni di Hamilton''' descrivono l'evoluzione temporale di un sistema fisico a partire dalla funzione che ne descrive l'[[energia]] totale, chiamata [[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] meccanica. Si tratta di un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] usato in particolare in [[meccanica classica]] e [[meccanica quantistica|quantistica]].<ref>{{Cita pubblicazione | url=http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.013a/textbook/chapter16/section03.html |capitolo=16.3 The Hamiltonian | titolo=MIT OpenCourseWare website 18.013A | accesso=febbraio 2007}}</ref>
 
==Le equazioni==
L'[[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] <math>\mathcal{H} = \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)</math> di un [[sistema dinamico]] è una funzione definita nello [[spazio delle fasi]] composto dalle [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q </math> e dai rispettivi momenti coniugati:
L'[[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] di un sistema è una funzione caratteristica del sistema il cui valore è pari all'energia totale del sistema. Per un sistema chiuso, essa è la somma dell'[[energia cinetica]] e dell'[[energia potenziale]]. In alcuni casi, per esempio quando agiscono [[forza conservativa|forze non conservative]], è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati, per cui l'hamiltoniana perde il suo significato fisico di energia totale del sistema.
 
:<math>p_i\mathbf p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf \dot q_iq} </math>
Le equazioni di Hamilton sono un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] che forniscono l'evoluzione temporale del sistema, e sono generalmente scritte nel seguente modo:<ref>Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref><ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref>
 
dove <math>\mathcal{L'}</math> è la [[meccanica hamiltoniana|hamiltonianalagrangiana]]. diL'hamiltoniana unviene sistema è una funzione caratteristica del sistema il cui valore èsolitamente pariassociata all'energia totale del sistema. Per un sistema chiuso, essa è la somma dell'[[energia cinetica]] e dell'[[energia potenziale]]. In alcuni casi, per esempio quando agiscono [[forza conservativa|forze non conservative]], è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati, per cuie l'hamiltoniana perde il suo significato fisico di energia totale del sistema.
:<math> \dot p_j = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} \qquad \dot q_j = +\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} </math>
 
Le equazioni di Hamilton sono un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] che forniscono l'evoluzione temporale del sistema, e sono generalmente scritte nel seguente modo:<ref>Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref><ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref>
dove <math> p_j = p_j(t)</math> e <math> q_j = q_j(t) </math> sono le [[coordinate generalizzate]] e i [[quantità di moto|rispettivi momenti]], <math> \mathcal{H} = \mathcal{H} (p(t),q(t),t)</math> è la [[funzione scalare]] hamiltoniana, ed il punto denota la [[derivata]] temporale.
 
:<math> \dot p_j = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} \qquad \dot q_j = +\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_j} </math>
In modo equivalente, si può scrivere in modo esplicito:
 
ovvero:
 
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf{p}(t) = -\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\mathcal{H}(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t)</math>
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathbf{q}(t) = +\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\mathcal{H}(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t)</math>
 
dove le funzioni <math>\mathbf q </math> e <math>\mathbf p </math> sono definite in uno [[spazio vettoriale]], mentre:
 
:<math>\mathcal{H} = \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)</math>
 
è la funzione scalare hamiltoniana.
 
Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a <math> p_j = p_j(t)</math> e <math> q_j = q_j(t) </math>, e pertanto scambiare <math>\pm q </math> con <math> \mp p</math> e <math>\pm \dot{q} </math> con <math> \mp\dot{p}</math> le lascia invariate.
 
== Derivazione dalle equazioni di Lagrange ==
{{Vedi anche|Equazioni di Eulero-Lagrange|Lagrangiana}}
Dato un sistema che ha ''n'' gradi di libertà, esso è descritto da una funzione Lagrangiana[[lagrangiana]] <math>\mathcal{L}</math>, allal'equazione qualedi corrispondonoNewton ''n''per equazioniil delsuo moto dateè equivalente daalle equazioni di Eulero-Lagrange:
 
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}= 0</math>
 
dette ''equazioni di Eulero-Lagrange''. Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le [[coordinate generalizzate]] <math>q_1, ...\dots , q_n</math> ed i momenti generalizzati <math>p_1, ...\dots , p_n</math>, definiti comeda <math>p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot q_i</math>. In tale contesto, la [[trasformazione di Legendre]] della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:
 
:<math>p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i}</math>
 
In tale contesto, la [[trasformazione di Legendre]] della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:
 
:<math>\mathcal{\mathcal H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>
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