Differenze tra le versioni di "Equazioni di Hamilton"

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==Le equazioni==
L'[[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] <math>\mathcal{H} = \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)</math> di un [[sistema dinamico]] è una funzione definita nello [[spazio delle fasi]] <math>\R^{2n}</math> composto dalle [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1, \dots q_n) \in \R^n</math> e dai rispettivi momenti coniugati:
 
:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf \dot q} </math>
 
dove <math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf \dot q,t)</math> è la [[lagrangiana]]. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'[[energia cinetica]] e dell'[[energia potenziale]]. In alcuni casi, per esempio quando agiscono [[forza conservativa|forze non conservative]], è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.
 
Le equazioni di Hamilton sono un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:<ref>Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0</ref><ref>The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1</ref>
== Derivazione dalle equazioni di Lagrange ==
{{Vedi anche|Equazioni di Eulero-Lagrange}}
Dato un sistema che ha ''n'' gradi di libertà descritto da una [[lagrangiana]] <math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf \dot q,t)</math>, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:
 
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}= 0</math>
 
Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le [[coordinate generalizzate]] <math>q_1, \dots , q_n</math> ed i momenti generalizzati <math>\mathbf p = (p_1, \dots , p_n)</math>, definiti da <math>p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot q_i</math>. In tale contesto, la [[trasformazione di Legendre]] della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:
 
:<math>\mathcal{\mathcal H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>
 
Si considerino sistemi ad un grado di libertà. LaIn una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il [[differenziale (matematica)|differenziale]] di <math>\mathcal{L}(q,\dot q,t)</math>:
 
:<math> \mathrm d \mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial q}\mathrm d q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial \dot q}\mathrm d \dot q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+p \mathrm d \dot q+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+(\mathrm d(\dot qp)-\dot q \mathrm d p)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt</math>
:<math>\mathrm d(\dot qp-\mathcal{L})=-\dot p \mathrm dq+\dot q \mathrm dp-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt</math>
 
La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a <math>\mathbf q</math>, cioè da <math>\mathbf p</math>.
 
Si consideri il differenziale di una funzione <math>\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p,t)</math>, dipendente da <math>\mathbf q</math> e <math>\mathbf p</math>:
 
:<math>\mathrm d\mathcal H=\frac{\partial \mathcal H}{\partial q}\mathrm dq+\frac{\partial \mathcal H}{\partial p}\mathrm dp+\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\mathrm dt</math>
Se si pone:
 
:<math>\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p,t)=\mathbf \dot q(t) \mathbf p(t)-\mathcal{L}(\mathbf q,\dot \mathbf q( \mathbf q, \mathbf p,t),t)</math>
 
si ottengono le equazioni di Hamilton:
 
:<math> \mathbf \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf p} \qquad \mathbf \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf q}</math>
 
e si procede analogamente nel caso di ''n'' coordinate lagrangiane.
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