Differenze tra le versioni di "Equazioni di Hamilton"

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Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a <math> p_j = p_j(t)</math> e <math> q_j = q_j(t) </math>, e pertanto scambiare <math>\pm q </math> con <math> \mp p</math> e <math>\pm \dot{q} </math> con <math> \mp\dot{p}</math> le lascia invariate.
 
== Derivazione dalle equazioni di Lagrange ==
Dato un sistema che ha ''n'' gradi di libertà descritto da una [[lagrangiana]] <math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf \dot q,t)</math>, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:
{{Vedi anche|Equazioni di Eulero-Lagrange}}
Dato un sistema che ha ''n'' gradi di libertà descritto da una [[lagrangiana]] <math>\mathcal{L}(\mathbf{q},\mathbf \dot q,t)</math>, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:
 
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}= 0</math>
 
Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le [[coordinate generalizzate]] <math>q_1, \dots , q_n</math> ed i momenti generalizzati <math>\mathbf p = (p_1, \dots , p_n)</math>, definiti da <math>p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot q_i</math>. In tale contesto, la [[trasformazionetrasformata di Legendre]] della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:
 
:<math>\mathcal{\mathcal H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}</math>
 
Si considerino sistemi ad un grado di libertà. In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il [[differenziale (matematica)|differenziale]] di <math>\mathcal{L}(q,\dot q,t)</math>:
 
:<math> \mathrm d \mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial q}\mathrm d q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial \dot q}\mathrm d \dot q+\frac{ \partial \mathcal{L}}{ \partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+p \mathrm d \dot q+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm d t=\dot p \mathrm dq+(\mathrm d(\dot qp)-\dot q \mathrm d p)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm dt</math>
La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a <math>\mathbf q</math>, cioè da <math>\mathbf p</math>.
 
Si consideriDato il differenziale di una funzione <math>\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p,t)</math>, dipendente da <math>\mathbf q</math> e <math>\mathbf p</math>:
 
:<math>\mathrm d\mathcal H=\frac{\partial \mathcal H}{\partial q}\mathrm dq+\frac{\partial \mathcal H}{\partial p}\mathrm dp+\frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\mathrm dt</math>
 
confrontandolo con la precedente espressione della trasformata di Legendre:
Se si pone:
 
:<math>\mathcal H(\mathbf q, \mathbf p,t)=\mathbf \dot q(t) \mathbf p(t)-\mathcal{L}(\mathbf q,\dot \mathbf q( \mathbf q, \mathbf p,t),t)</math>
 
si ottengono le equazioni di Hamilton:
:<math> \mathbf \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf p} \qquad \mathbf \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf q}</math>
 
Se una coordinata è una ''coordinata ciclica'' per la Lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana, mentre se il sistema è isolato (l'Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, e quindi se <math>\mathcal L</math> non dipende esplicitamente dal tempo) allora <math>\mathcal H</math> stessa è una costante del moto. Si deve notare che in tale procedura <math>\mathcal H</math> non rappresenta necessariamente l'energia del sistema.:
e si procede analogamente nel caso di ''n'' coordinate lagrangiane.
 
:<math>\frac{d\mathcal H}{dt} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial t}</math>
Se una coordinata è una ''coordinata ciclica'' per la Lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana, mentre se il sistema è isolato (l'Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, e quindi se <math>L</math> non dipende esplicitamente dal tempo) allora <math>\mathcal H</math> stessa è una costante del moto. Si deve notare che in tale procedura <math>\mathcal H</math> non rappresenta necessariamente l'energia del sistema.
 
==Principio variazionale==
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