Differenze tra le versioni di "Equazioni di Hamilton"

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(intro)
In [[fisica]], in particolare nella riformulazione della [[meccanica classica]] sviluppata dalla [[meccanica hamiltoniana]], le '''equazioni di Hamilton''' sono l'[[equazione del moto]] per un sistema fisico, scritta a partire dalla funzione che ne descrive l'[[energia]] totale, chiamata [[meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]]. Determinano l'evoluzione temporale del [[sistema dinamico]] in modo equivalente alla [[legge di Newton]] e alle [[equazioni di Eulero-Lagrange]], di cui sono una riscrittura ottenuta in seguito ad un particolare cambio di variabili.
 
Si tratta di un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] usato in particolare in e [[meccanica quantistica|quantistica]].<ref>{{Cita pubblicazione | url=http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.013a/textbook/chapter16/section03.html |capitolo=16.3 The Hamiltonian | titolo=MIT OpenCourseWare website 18.013A | accesso=febbraio 2007}}</ref>
 
==Le equazioni==
:<math> \mathbf \dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf p} \qquad \mathbf \dot{p} = - \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf q}</math>
 
Se una coordinata è una ''coordinata ciclica'' per la Lagrangianalagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana. In particolare se lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora <math>\mathcal H</math> stessa è una [[costante del moto]]:
 
:<math>\frac{d\mathcal H}{dt} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t} =0</math>
==Principio variazionale==
{{Vedi anche|Principio variazionale di Hamilton}}
Le equazioni di Hamilton si possono ricavare da un principio variazionale. In tal caso ildal principio variazionale di Hamilton si scrive:
 
:<math>\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \, dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left(\sum_{i=1}^{n} \dot q_i \, p_i - \mathcal H(q,p,t) \right) \, dt = 0</math>
 
dove l'integrale della lagrangiana nel tempo è l'[[azione (fisica)|azione]]:
 
:<math>\delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left(\sum_{i=1}^{n} \dot q_i \, p_i - \mathcal H(q,p,t) \right) \, dt =L 0</math>
 
ed è definito nello [[spazio delle fasi]]. Il principio ci dicestabilisce che il punto rappresentativo del moto nello spazio delle fasi tra <math>t_1, t_2</math> deve soddisfare il principio di Hamilton annullandorendendo stazionario l'integrale variazionale mantenendo costante il tempo tra <math>t_1</math> e <math>t_2</math>, il che significa che l'integrale ha un estremo in corrispondenza di tutte le traiettorie tra i due tempi.
 
==Note==
 
==Collegamenti esterni==
Si* tratta di un sistema di [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] usato in particolare in e [[meccanica quantistica|quantistica]].<ref>{{en}}{{Cita pubblicazione | url=http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.013a/textbook/chapter16/section03.html |capitolo=16.3 The Hamiltonian | titolo=MIT OpenCourseWare website 18.013A | accesso=febbraio 2007}}</ref>
* {{en}}[http://www.physics.usu.edu/torre/6010_Fall_2010/Lectures/10.pdf Charles Torre - The Hamiltonian Formalism]
* {{en}}[http://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf Joel Shapiro - Lagrange's and Hamilton's Equations]
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