Matrice dei cofattori: differenze tra le versioni
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:<math>A^{-1} = \det(A)^{-1}\cdot\mathrm{adj}(A) </math>
* <math>\det(\mathrm{adj}(A)) \,=\, \det(A)^{n - 1}</math>
== Esempi ==
=== Matrice 2 × 2 ===
L'aggiunta della matrice:
:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}} & {{d}} \end{pmatrix}</math>
è:
:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}</math>.
e si nota che <math>\det (\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(A)</math> e <math>\operatorname{adj}( \operatorname{adj}(A)) = A</math>.
=== Matrice 3 × 3 ===
Data la matrice <math>3\times 3</math>:
:<math>
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
La sua aggiunta è la trasposta della matrice dei cofattori:
:<math>
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\
& & \\
-\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| \\
& & \\
+\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
& & \\
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| \\
& & \\
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}
</math>
dove:
:<math>\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left( \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right)</math>.
Quindi la matrice aggiunta di <math>A</math> è:
:<math>
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
-3 & 6 & -3 \\
6 & -12 & 6 \\
-3 & 6 & -3
\end{pmatrix}</math>
===Esempio numerico===
Esempio di calcolo di matrice aggiunta:
:<math>\operatorname {adj}\begin{pmatrix} 2& 1&1\\ 0&-1&2\\ 0&2&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3&3&3\\ 0&-2&-4\\ 0&-4&-2 \end{pmatrix}</math>
== Bibliografia ==
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