Serie di Taylor: differenze tra le versioni
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=== Funzioni non analitiche ===
[[File:Expinvsq.svg|thumb|La funzione <span style="color:#803300">e<sup>-1/x²</sup></span> si estende in 0 ad una funzione derivabile infinite volte, ma non [[funzione analitica|analitica]]: la serie di Taylor ha tutti i coefficienti nulli, mentre la funzione non è la funzione nulla.]]
Non tutte le funzioni differenziabili infinite volte sono analitiche. Esistono cioè delle ''f''(''x'') la cui serie di Taylor converge, ma che rappresenta una funzione drasticamente differente dalla ''f''(''x''). Ad esempio, la funzione definita a pezzi come ''f''(''x'') := exp(−1/''x''²) per ''x'' ≠ 0 ed ''f''(0) := 0: tutte le sue derivate in ''x'' = 0 sono nulle, quindi la sua serie di Taylor è la serie nulla e il suo [[raggio di convergenza]] è infinito, anche se la funzione è ben diversa dalla funzione nulla.
Questa particolare situazione "patologica" non si verifica nelle [[funzione olomorfa|funzioni olomorfe]], cioè nelle funzioni derivabili in ambito complesso. Nell'esempio specifico, la funzione exp(−1/''z''²) non è estendibile nell'origine nel campo complesso.
In ambito reale esistono anche situazioni molto più "patologiche" di quella dell'esempio precedente. La funzione definita dalla serie
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=== Criteri di analiticità ===
Esistono teoremi che costituiscono condizioni sufficienti affinché una funzione reale di variabile reale e di classe <math>C^\infty</math> sia analitica. Tra questi si può ricordare il teorema di Bernstein. Esso afferma che se <math>f(x)</math> è di classe <math>C^{\infty}</math> e non negativa su <math>(-r,r)</math> insieme alle sue derivate di ogni ordine, allora
:<math>f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n \;\;\;\; \forall x \in (-r,r)</math>
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:<math>| f^{(n)} (x)| \leq kM^n \;\;\;\;\forall x \in (-r,r)</math>
allora
:<math>f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^n</math>
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</math> ,
dove <math>\nabla f(\mathbf{a})</math> denota il [[gradiente]] della funzione e <math>H f(\mathbf{a})</math> la sua [[matrice hessiana]]. Servendosi della [[notazione multi-indice]] la serie di Taylor per più variabili si scrive
:<math>
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<math>f(x) = f(0) + f^'(0) x+ {{f^{''}(0)}\over{2!}}x^2 + {{f^{'''}(0)}\over{3!}}x^3+...+{{f^{(n)}(0)}\over{n!}}x^n + R_n(x)</math>.
I seguenti sono alcuni importanti sviluppi in serie di Maclaurin. Tutti questi sviluppi sono validi anche per argomenti ''x'' complessi.
[[Funzione esponenziale]] e [[logaritmo naturale]]:
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Sono stati sviluppati molti metodi per il calcolo delle serie di Taylor per le molte funzioni analitiche utilizzate nella matematica e nelle sue applicazioni. Una strada consiste nell'utilizzare la serie di Taylor attraverso la sua definizione e generalizzare la forma dei coefficienti. Un'altra procede ad eseguire manipolazioni formali, come sostituzioni, moltiplicazioni o divisioni, addizioni o sottrazioni di serie di Taylor note per costruire la serie di Taylor di nuove funzioni, sfruttando le possibilità di manipolazione delle serie di potenze; in questo ambito può rivelarsi utile fare riferimento ai risultati riguardanti le [[serie ipergeometriche]], i [[polinomi ortogonali]] e il [[calcolo umbrale]]. In taluni casi si riescono a derivare serie di Taylor applicando ripetutamente l'[[integrazione per parti]].
Va anche osservato che per effettuare molte di queste elaborazioni possono essere molto utili gli odierni strumenti per il calcolo simbolico automatico.
Presentiamo ora due esempi di calcoli manuali. Cerchiamo di individuare la serie di Taylor centrata in 0 della funzione
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[[Categoria:Serie matematiche]]
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