|
== Prima formula di prostaferesi ==
:<math>\mathrm{sen}\,sin\alpha+\mathrm{sen}\,sin\beta=2\,\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
{{nota
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = La formula di partenza può essere riscritta come:
:<math>\mathrm{sen}sin \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2}\right)+\mathrm{sen}sin \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)</math>
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene:
:<math>\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
:<math>2\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
}}
== Seconda formula di prostaferesi ==
:<math>\mathrm{sen}\,sin\alpha-\mathrm{sen}\,sin\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \,\mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
{{nota
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = La formula di partenza può essere riscritta come:
:<math>\mathrm{sen}sin \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2} \right)-\mathrm{sen}sin \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)</math>
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene:
:<math>\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
:<math>2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
}}
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[coseno]], si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
== Quarta formula di prostaferesi ==
:<math>\cos\alpha-\cos\beta=-2 \,\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \,\mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
{{nota
Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[coseno]], si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}- \,\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\beta-\alpha}{2}</math>
Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:
:<math>\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2} \mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \mathrm{sen}sin \frac {\beta+\alpha}{2} \mathrm{sen}sin \frac{\alpha-\beta}{2}</math>
Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:
:<math>-2\mathrm{sen}sin \frac {\alpha+\beta}{2}\mathrm{sen}sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
}}
== Formule di prostaferesi per la tangente ==
:<math>\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac {\mathrm{sen}sin(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} \qquad \mathrm{con} \ \alpha,\beta \ne (2k+1) \frac{\pi}{2} ; k \in \Z </math>
{{nota
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di [[tangente (matematica)|tangente]], come:
:<math>\frac {\mathrm{sen}\,sin\alpha} {\cos\alpha} \pm \frac {\mathrm{sen}\,sin\beta} {\cos\beta}</math>
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i [[coseno|coseni]] non siano nulli:
:<math>\frac {\mathrm{sen}\,sin\alpha \cos\beta} {\cos\alpha \cos\beta} \pm \frac {\mathrm{sen}\,sin\beta \cos\alpha} {\cos\beta \cos\alpha}</math>
Da cui, raccogliendo il [[denominatore]]:
:<math>\frac {\mathrm{sen}\,sin\alpha \cos\beta \pm \mathrm{sen}\,sin\beta \cos\alpha} {\cos\alpha \cos\beta}</math>
Da cui, giacché il [[numeratore]] è il risultato delle [[Trigonometria#Formule di addizione e sottrazione|formule di addizione e sottrazione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene per sostituzione:
:<math>\frac {\mathrm{sen}sin(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}</math>
}}
== Formule di prostaferesi per la cotangente ==
:<math>\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac {\mathrm{sen}sin(\beta\pm\alpha)} {\mathrm{sen}\,sin\alpha \, \mathrm{sen}\,sin\beta} \qquad \mathrm{con} \ \alpha,\beta \ne k \pi ; k \in \Z </math>
{{nota
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di [[cotangente]], come:
:<math>\frac {\cos\alpha} {\mathrm{sen}\,sin\alpha} \pm \frac {\cos\beta} {\mathrm{sen}\,sin\beta}</math>
Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i [[seno (trigonometria)|seni]] non siano nulli:
:<math>\frac {\cos\alpha \, \mathrm{sen}\,sin\beta} {\mathrm{sen}\,sin\alpha \, \mathrm{sen}\,sin\beta} \pm \frac {\cos\beta \, \mathrm{sen}\,sin\alpha} {\mathrm{sen}\,sin\beta \, \mathrm{sen}\,sin\alpha}</math>
Da cui, raccogliendo il [[denominatore]]:
:<math>\frac {\cos\alpha \, \mathrm{sen}\,sin\beta \pm \cos\beta \, \mathrm{sen}\,sin\alpha} {\mathrm{sen}\,sin\alpha \, \mathrm{sen}\,sin\beta}</math>
Da cui, giacché il [[numeratore]] è il risultato delle [[Trigonometria#Formule di addizione e sottrazione|formule di addizione e sottrazione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene per sostituzione:
:<math>\frac {\mathrm{sen}sin\left(\beta\pm\alpha\right)} {\mathrm{sen}\,sin\alpha \, \mathrm{sen}\,sin\beta}</math>
}}
| 