Distribuzione chi quadrato: differenze tra le versioni

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Ho modificato l'intervallo a cui deve appartenere t per la funzione generatrice dei moementi. Prima t doveva essere t< -1/2 e contemporaneamente t>1/2, impossibile; ora t appartiene all'intervallo [-1/2,1/2]
→‎Derivazione della funzione di densità per un grado di libertà: Cambio dei nomi delle variabili per evitare ambiguità
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== Derivazione ==
=== Derivazione della funzione di densità per un grado di libertà ===
Sia ''y''Y = ''x''X<sup>2</sup>, dove ''x''X è una variabile casuale [[distribuzione normale|normalmente distribuita]] con media nulla e varianza unitaria (''x''X ~ ''N''(0,1)).
 
Allora, se <math>y<0, ~ P(yY<y)=0</math>, mentre, se <math>y\geq0, ~ P(yY<y) = P(xX^2<y)=P(|xX|<\sqrt{y})=F_xF_X(\sqrt{y})-F_xF_X(-\sqrt{y})</math>.
: <math> f_yf_Y(y) = f_xf_X(\sqrt{y})\frac{\partial(\sqrt{y})}{\partial y}-f_xf_X(-\sqrt{y})\frac{\partial(-\sqrt{y})}{\partial y}</math>
:::<math>= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{2y^{1/2}}e^{-\frac{y}{2}} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{2y^{1/2}}e^{-\frac{y}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{y^{1/2}}e^{- \frac{y}{2}}</math>
:::<math>= \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \Gamma(\frac{1}{2})}y^{\frac{1}{2} -1}e^{-\frac{y}{2}}</math>