Numero colombiano: differenze tra le versioni
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: 20 '''è''' un numero colombiano, perché non è ottenibile da nessuna somma come il precedente.
La caratteristica di essere un numero colombiano dipende dalla [[
È logico, poi, che per riscontrare detta proprietà in un numero, basta verificare limitatamente ai numeri che lo precedono, in quanto numeri superiori sono automaticamente esclusi, vista l'impossibilità di ottenere un numero inferiore dovendovi [[addizione|sommare]] altri numeri comunque positivi; meno immediato è che non occorre comunque verificare tutti i numeri precedente ma soltanto (ponendo di aver scelto un numero di "j" cifre<ref>Il numero di cifre di un numero M, espresso in altra base B, è uguale alla parte intera del [[logaritmo]] di M con base B, ovvero j=log<sub>B</sub>M</ref>), i j×(B-1) numeri precedenti: di fatto per verificare detta proprietà in capo al numero 1 000 000 000 (in base 10), basta controllare i 99<ref> ''10''×(10 -1)</ref> numeri che lo precedono, cioè dal 999999900 in poi.<br/>Di fatto, quindi, anche per numeri molto grandi la verifica di tale proprietà richiede, per le basi piccole, relativamente poco tempo, e inoltre si evidenzia come il tempo richiesto possa variare in base al numero delle cifre e alla base prescelta. ▼
▲È logico, poi, che per riscontrare detta proprietà in un numero, basta verificare limitatamente ai numeri che lo precedono, in quanto numeri superiori sono automaticamente esclusi, vista l'impossibilità di ottenere un numero inferiore dovendovi [[addizione|sommare]] altri numeri comunque positivi; meno immediato è che non occorre comunque verificare tutti i numeri precedente ma soltanto (ponendo di aver scelto un numero di "j" cifre<ref>Il numero di cifre di un numero M, espresso in altra base B, è uguale alla parte intera del [[logaritmo]] di M con base B, ovvero j=log<sub>B</sub>M</ref>), i j×(B-1) numeri precedenti: di fatto per verificare detta proprietà in capo al numero 1 000 000 000 (in base 10), basta controllare i 99<ref>
==Numeri colombiani e base==
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Com'è già accennato, un numero può risultare colombiano secondo una determinata base B e non rispetto ad altre, in ogni modo è possibile fare le seguenti generalizzazioni:
* Il numero [[uno|1]] è sempre un numero colombiano, ovviamente, in qualsiasi base venga espresso.
:* Per i numeri ''inferiori'' ad una data base B, tutti e solo i [[Numeri dispari|numeri ''dispari]]'' sono colombiani rispetto alla medesima.''<br />Il motivo è facile: tutti i numeri inferiori ad una data base sono rappresentati con una cifra ''c''<ref>vale anche per le basi superiori al 10 in quel caso si ricorrere alle lettere od, in mancanza, ad altri simboli</ref>. Applicando la definizione di numero colombiano, questa cifra ''c'' renderà senz'altro non colombiano un qualsivoglia numero ''d'' = ''c'' + ''c'' = 2''c'', che è dunque un [[numero pari]]. Da cui discende che ogni [[numero pari]] fino a 2(B - 1), quindi, compresi quelli inferiori a B, non può essere colombiano.<br />Ciò non esclude che numeri pari superiori a questo lo siano, invece, 20, per esempio, in base 10 e un numero colombiano anche se pari, mentre non lo sono logicamente tutti i pari fino al 18 = 2(10 - 1).
:* Per tutte le basi dispari, tutti i numeri dispari superiori alla base B stessa sono colombiani.
Definendo una base è invece possibile determinare la relativa sequenza di numeri colombiani; in base 10, per esempio, è:
▲Definendo una base è invece possibile determinare la relativa sequenza di numeri colombiani; in base 10, per esempio, è:
:: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525...<ref>{{OEIS|A003052}}</ref>
come si può notare esiste una ricorrenza fra i diversi numeri: ad eccezione dei primi quattro, infatti, sono divisibili in sequenze minori di 10 numeri ciascuna, al cui interno ogni numero si ottiene sommando 11 al precedente e, finita ogni sequenza, il primo numero della successiva si ottiene sommando 2 all'ultimo della precedente.<br />
Sempre in base 10 esiste poi una [[relazione di ricorrenza]] fra numeri colombiani, tale per cui vale la relazione:
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La medesima relazione è trovabile anche in base [[Sistema numerico binario|binaria]]:
:<math>C_k \,=\, 2^j + C_{k - 1} + 1</math> con (''C''<sub>1</sub> = 1, ''j'' fornisce il numero di cifre)
ma può essere generalizzata nel seguente modo, per ogni base B:
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== Note ==
== Collegamenti esterni ==
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{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Successioni di interi]]
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