Gruppo topologico: differenze tra le versioni

Un gruppo topologico <math>G\ </math> è di [[spazio di Hausdorff|Hausdorff]] se e solo se il sottogruppo banale formato dal solo [[elemento neutro]] è chiuso. Alcuni autori richiedono che questa condizione sia inclusa nella condizione di sottogruppo; è comunque sempre possibile rendere il gruppo di Hausdorff se si passa al quoziente <math>G/K</math>, dove <math>K\ </math> è la chiusura del gruppo banale. In effetti, questa condizione non è molto restrittiva, in quanto ogni sottogruppo per cui vale l'[[spazio T0|assioma T0T₀]] è certamente almeno T3T_3½.

Un'altra condizione normalmente richiesta è quella di considerare sottogruppi [[insieme chiuso|chiusi]], in quanto il gruppo quoziente generato da un sottogruppo non chiuso non è T0T₀, indipendentemente dal gruppo originario.

Un gruppo topologico [[spazio compatto|compatto]] può essere considerato come una generalizzazione del concetto di gruppo finito;, in particolare per quanto riguarda la teoria della [[rappresentazione dei gruppi]]. Analogamente i gruppi [[spazio localmente compatto|localmente compatti]] estendono i gruppi numerabili.