Funzione generatrice: differenze tra le versioni
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=== Sequenze polinomiali ===
La nozione di funzione generatrice può essere estesa a successioni di oggetti che non sono semplici numeri. Così, ad esempio, le [[sequenze polinomiali di tipo binomiale]] sono generate da
:<math>e^{xf(t)}=\sum_{n=0}^\infty {p_n(x) \over n!}t^n</math> ,
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=== Successione dei quadrati ===
Passiamo in rassegna le funzioni generatrici per la successione dei [[quadrato perfetto|quadrati perfetti]] ''a''<sub>''n''</sub> = ''n''<sup>2</sup>.
''Funzione generatrice ordinaria''
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...
In questo caso stampiamo la stringa ''ciao'' per iterazioni che vanno da 1 a n. Otteniamo così
:<math>\sum_{i=1}^n 1 = n </math>
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ricordando la [[formula di Gauss]].
In generale, avendo k cicli innestati ci si riconduce a valutare una sommatoria della serie
:<math>\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^{i_1} ... \sum{i_k=1}^{i_{k-1}} 1 </math>
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== Numeri di Fibonacci ==
{{vedi anche|numeri di Fibonacci}}
Consideriamo il problema di trovare una formula chiusa per i [[numeri di Fibonacci]] ''f''<sub>''n''</sub> definiti da ''f''<sub>0</sub> := 0, ''f''<sub>1</sub> := 1 e ''f''<sub>''n''</sub> := ''f''<sub>''n''−1</sub> + ''f''<sub>''n''−2</sub> per ''n'' ≥ 2. Componiamo la funzione generatrice ordinaria
:<math>
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</math>
per questa successione. La funzione generatrice per la successione (''f''<sub>''n''−1</sub>) è ''Xf'' e quella di (''f''<sub>''n''−2</sub>) è ''X''<sup>2</sup>''f''. Dalla relazione di ricorrenza si ricava quindi che la serie di potenze ''Xf'' + ''X''<sup>2</sup>''f'' ha gli stessi coefficienti della ''f'' ad esclusione dei primi due. Tenendo conto di questi si trova che
:<math> f = Xf + X^2 f + X </math>
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:<math> f = \frac{X} {1 - X - X^2} </math> .
Il denominatore si può fattorizzare usando la [[sezione aurea]] φ<sub>1</sub> = (1 + √5)/2 e φ<sub>2</sub> = (1 − √5)/2; la tecnica della [[decomposizione in frazioni parziali]] porta a
:<math>
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== Collegamenti esterni ==
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{{Portale|matematica}}
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[[Categoria:Combinatoria algebrica]]
[[Categoria:Serie matematiche]]
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