Insieme di generatori: differenze tra le versioni
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Più in generale, se <math> S </math> è un sottoinsieme di <math> A </math>, l'insieme <math> \langle S \rangle </math> '''generato''' da <math> S </math> è il più piccolo sottoinsieme di <math> A </math> chiuso rispetto alle operazioni definite su <math> A </math> contenente <math> S </math>
Nei casi più frequenti, <math> A </math> è un [[gruppo (matematica)|gruppo]], un [[anello (algebra)|anello]] o uno [[spazio vettoriale]].
Solitamente, le strutture che ammettono un numero finito di generatori sono una classe più facile da studiare: si ottengono così i '''gruppi finitamente generati''' e gli spazi vettoriali di [[dimensione di Hamel|dimensione]] finita.
== Gruppi ==
Sia <math> G </math> un [[gruppo (matematica)|gruppo]] e <math> S </math> un sottoinsieme di <math> G </math>. Il sottogruppo <math>\langle S \rangle</math> generato da <math> S </math> è il più piccolo [[sottogruppo]] di <math> G </math> che contiene <math>S</math>. Se <math>S</math> è l'insieme vuoto, <math>\langle S \rangle</math> è dunque il sottogruppo banale <math> \{e\} </math>. Se <math>S</math> non è vuoto, allora <math>\langle S \rangle</math> consiste di tutti gli elementi che possono essere espressi come prodotto di elementi di <math> S </math> e dei loro inversi.
=== Gruppo ciclico ===
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== Spazi vettoriali ==
{{vedi anche|Copertura lineare}}
Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] definito su un [[Campo (matematica)|campo
<math>G = \{v_1, ... , v_n\; |\; v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i, \; a_1, ... , a_n \in K , \forall v \in V \} </math> .
Come si vede dalla definizione, si tratta di un insieme di vettori che permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio vettoriale V mediante [[combinazione lineare]] dei suoi elementi. Se ne possono immediatamente dedurre alcune proprietà:
* Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è certamente un suo sottospazio.
* Per ogni spazio vettoriale non vuoto, esistono infiniti sistemi generatori.
* La [[Base (algebra lineare)|base]] di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori; al contrario, un sistema di generatori non è necessariamente una base.
* La minima cardinalità di un insieme <math> S </math> di generatori per <math> V </math> è la [[dimensione di Hamel|dimensione]] di <math> V </math>.
Un'altra definizione relativa allo spazio vettoriale può essere data facendo uso dell'operatore Span ([[copertura lineare]])<ref>{{Cita libro|autore = Marco Abate|titolo = Geometria|anno = 1996|editore = McGraw-Hill|città = Milano|pp = 31, 76}}</ref>:
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<references />
* {{Cita libro|autore = Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J.|titolo = Generators and Relations for Discrete Groups|città = New York|editore = Springer-Verlag|anno = 1980|isbn = 0-387-09212-9|lingua = en}}
* {{en}} Arfken, G. "Generators." §4.11 in ''Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed''. Orlando, FL: Academic Press, pp.
* Marco Abate, ''Geometria'', Milano, McGraw-Hill, 1996.
== Voci correlate ==
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== Collegamenti esterni ==
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* {{
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria dei gruppi]]
[[Categoria:Algebra lineare]]
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