Teoria dei giochi: differenze tra le versioni
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== Descrizione informale dei giochi ==
In un gioco esistono uno o più contendenti che cercano di vincere il gioco, ovvero, di massimizzare la propria vincita. Esiste inoltre una regola ([[Funzione (matematica)|funzione]]) che stabilisce quantitativamente qual è la vincita dei contendenti in funzione del loro comportamento, tale funzione si chiama funzione dei pagamenti. Ogni giocatore può prendere un numero finito (o infinito nel caso più astratto possibile) di decisioni o strategie. Ogni strategia è caratterizzata da una conseguenza per il giocatore che l'ha presa, la conseguenza della strategia può essere un premio o una penalità. Il risultato del gioco è completamente determinato dalla sequenza delle loro strategie e dalle strategie prese dagli altri giocatori.
Ma come caratterizzare il risultato del gioco per ogni giocatore? Se si misura la conseguenza di una strategia in "termini monetari", ogni strategia può essere messa in corrispondenza con un numero: un numero negativo indicherà un pagamento all'avversario, ossia una penalità; mentre un numero positivo indicherà una vincita, ossia la riscossione di un premio. Il guadagno o la perdita spettante al generico giocatore k-esimo associata alla sua strategia e alle strategie prese in un dato istante da tutti i restanti giocatori è espresso dal valore monetario indicato dalla funzione dei pagamenti. Le decisioni prese da un giocatore naturalmente si scontrano o sono in accordo con le decisioni prese dagli altri giocatori; da simili situazioni nascono i giochi cooperativi o non-cooperativi.
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In sostanza un gioco essenziale è intrinsecamente di natura cooperativa quando tutte le possibili coalizioni costituibili tra gli n giocatori "vedono" che esiste un valore del gioco V(R) che domina la semplice unione dei pagamenti conseguibili dalle singole alleanze <math>V(G_i)</math>. In R tutti i giocatori interagiscono e dalle reciproche relazioni traggono il mutuo vantaggio V(R).
Si possono avere due sottogeneri, i giochi ''NTU'' ed i giochi ''TU''.
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1) ogni spartizione dei "guadagni" conseguibili tra i giocatori non appartenenti alla coalizione è inferiore alla spartizione dei "guadagni" effettuata tra i giocatori appartenenti alla coalizione;
2) nessuna spartizione dei guadagni all'interno della coalizione è superiore a qualche altra possibile distribuzione dei "guadagni" all'interno della coalizione.
La proprietà 1) afferma che la coalizione è vincente perché è più remunerativa e, in conclusione, tutti vorrebbero entrarvi. In sintesi le soluzioni dei gioco devono essere efficienti: non esistono altre soluzioni che migliorano i risultati conseguibili dai membri della coalizione.
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Nei giochi non cooperativi, detti anche giochi competitivi, i giocatori non possono stipulare accordi vincolanti (anche normativamente), indipendentemente dai loro obiettivi.
A questa categoria risponde la soluzione data da [[John Nash]] con il suo [[Equilibrio di Nash]], probabilmente la nozione più famosa per quel che riguarda l'intera teoria, grazie al suo vastissimo campo di applicabilità.
Il criterio di comportamento razionale adottato nei giochi non-cooperativi è di carattere individuale ed è chiamato '''strategia del massimo'''.
Una definizione di razionalità siffatta caratterizza il comportamento di un individuo “intelligente ottimista” in quanto si prefigge l’obiettivo ottimista di prendere sempre la decisione che consegue il massimo guadagno possibile. In sostanza il comportamento di ogni giocatore è tale da perseguire sempre la strategia più vantaggiosa per sé stesso. Qualora nel gioco esista una strategia che presenta il massimo guadagno per tutti i giocatori si parla di punto di equilibrio.
Un punto di equilibrio in un gioco in cui si attua la strategia del massimo esprime il fatto che tutti i giocatori conseguono sì il massimo guadagno individuale, ma anche quello collettivo. Il punto di equilibrio di Nash esprime in un certo senso un comportamento razionale socialmente utile dal momento che tutti i giocatori ottengono un pagamento che presenta la convergenza degli interessi di tutti i giocatori. John Nash ha dimostrato che ogni gioco finito ad n giocatori ammette almeno un punto di equilibrio in strategie miste, tale teorema faceva parte della sua tesi di dottorato.
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Esempi a informazione perfetta
* [[scacchi]]
Esempi a informazione imperfetta
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Formalmente un gioco a somma zero in forma normale a due giocatori si esprime come:
<math>U_1\left(s_{1,i}, s_{2,j}\right)</math> + <math>U_2\left(s_{1,i}, s_{2,j}\right)</math> ≡ 0 ∀ <math>s_{1,i}</math> ∈ <math>S_1</math> ∧ ∀ <math>s_{2,j}</math> ∈ <math>S_2</math> dove <math>S_1=\left\{s_{1,1},..., s_{1,m}\right\}</math> e <math>S_2=\left\{s_{2,1},..., s_{2,n}\right\}</math>
Se il gioco è finito, le funzione dei pagamenti <math>U_1</math> e <math>U_2</math> possono essere rappresentate per mezzo di una matrice costituita da m righe ed n colonne.
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<math>U_2\left(s_1^e, s_2^e \right) \ge \ U_2\left(s_1^e, s_{2,j} \right) </math> ∀ <math>s_{2,j}</math> ∈ <math>S_2</math>
Per concludere nel campo della [[programmazione matematica]] si ricorda che un gioco a somma zero a due giocatori può sempre essere ricondotto a una coppia di programmi lineari mutuamente duali, il cui valore ottimale z* dei due problemi corrisponde al valore del gioco V*.
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la matrice dei pagamenti rappresentativa di un gioco a somma zero a due giocatori: <math>A_1+A_2=0</math> avendo indicato con <math>A=A_1</math>
Per il giocatore massimizzante si ha il seguente problema primale:
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<math>s_{1,i}</math> ∈ {0;1} per ogni i=1,...,m
Per il giocatore minimizzante (problema duale) si ha:
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* [[John Maynard Smith]] (1982): ''[[Evolution and the Theory of Games]]'', Cambridge University Press
* [[John von Neumann]], [[Oskar Morgenstern]] (1944): ''Theory of Games and Economic Behavior'', Princeton University Press; terza ed. 1953.
* [[John Forbes Nash]] (1950): ''Equilibrium points in n-person games'', Proceedings of the National Academy of the USA, 36(1) pp.
=== Testi di riferimento correnti ===
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* [http://www.galenotech.org/strategie.htm Teoria dei giochi] breve introduzione a cura di Marcello Guidotti
* [http://www.socialcapitalgateway.org/ita-gametheory.htm Social Capital Gateway] siti web in inglese su teoria dei giochi e interazioni sociali, a cura di Fabio Sabatini
*
* {{en}} [http://www.gametheory.net/ Risorse di teoria dei giochi] a cura di Mike Shor
* {{Thesaurus BNCF}}
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