Teoria della stabilità: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], la '''teoria della stabilità''' riguarda la stabilità nel tempo dei [[Sistema dinamico|sistemi dinamici]], valutata in termini di limitatezza delle uscite (ad esempio nel caso di una [[Circuito lineare|rete lineare]]) o analizzando il comportamento delle [[Orbita (matematica)|orbite]] (soluzioni) dell'[[equazione differenziale]] che descrive il sistema, specialmente nel caso in cui esso si trovi in una [[punto di equilibrio|condizione di equilibrio]].
Lo studio della stabilità di un sistema dinamico è un problema diffuso in diversi settori della [[scienza]], come l'[[ingegneria]], la [[chimica]], la [[fisica]], l'[[economia]], o la [[farmacologia]]. In particolare, nel caso di [[Sistema (fisica)|sistemi fisici]] il sistema raggiunge una configurazione che non varia nel tempo quando essa coincide con un minimo dell'[[energia]] posseduta dal sistema ([[teorema di Lagrange-Dirichlet]]).
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Vi sono diversi metodi matematici per caratterizzare la stabilità di un sistema, tra i principali si possono citare:
* La [[stabilità esterna]] o stabilità BIBO (dall'acronimo inglese ''Bounded Input, Bounded Output'') è la capacità del sistema di mantenere le sue grandezze in uscita entro valori limitati a fronte di valori limitati degli ingressi, indipendentemente dallo stato iniziale. Solitamente viene studiata per [[Sistema dinamico lineare stazionario|sistemi LTI]] utilizzando la rappresentazione (in frequenza) del sistema fornita dalla [[funzione di trasferimento]]: se e solo se tutti i suoi [[Polo (analisi complessa)|poli]] hanno parte reale negativa allora il sistema è esternamente stabile.
* La [[stabilità interna]] o stabilità di Lyapunov, da [[Aleksandr Michajlovič Ljapunov|Lyapunov]] che la introdusse nella seconda metà del ventesimo secolo, prende invece in considerazione perturbazioni allo stato iniziale del sistema nelle vicinanze di un [[punto fisso|punto di equilibrio]] e valuta se l'uscita (o la traiettoria nello [[spazio delle fasi]]) ci rimane per tutti i tempi successivi. Nello specifico, utilizzando la [[Spazio di stato|rappresentazione in spazio di stato]] di un sistema dinamico, un punto di equilibrio per un sistema dinamico è detto ''punto di equilibrio stabile'' (secondo Lyapunov) se, a fronte di perturbazioni limitate dello stato iniziale del sistema, la sua evoluzione successiva rimane in prossimità del punto, mentre è detto un ''punto di equilibrio asintoticamente stabile'' (secondo Lyapunov) se la traiettoria dello stato perturbato tende al punto, cioè se la distanza fra il punto e la traiettoria si annulla per il tempo che tende a infinito.
* La [[stabilità strutturale]] analizza il comportamento delle orbite in seguito a piccole perturbazioni di classe <math>C^1</math>.
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==Collegamenti esterni==
* {{springerEOM|titolo=Stability theory|autore= V.M. Millionshchikov }}
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{{Portale|controlli automatici|fisica|matematica}}
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