Trattrice (geometria): differenze tra le versioni

* Tra l’ottobrel'ottobre e il novembre del [[1692]], Huygens descrisse tre modelli che descrivono trattrici.

Supponiamo che un oggetto sia posizionato nel punto (''a'',0) e il trascinatore nell'origine, in modo tale che ''a'' sia la lunghezza del segmento che li unisce. Successivamente il trascinatore inizia a muoversi lungo l’assel'asse ''y'' nel verso positivo. Ad ogni istante, il segmento sarà tangente alla curva ''y=y(x)'' descritta dall'oggetto, cosicché la sua traiettoria venga determinata dal movimento del trascinatore. Matematicamente, il movimento sarà descritto dall’dall'[[equazione differenziale]]

Il segno meno verrà applicato nel caso in cui il trascinatore si muova nel verso negativo dell’assedell'asse ''y''. Infatti entrambi i rami della curva appartengono alla trattrice e si incontrano nel punto di [[cuspide (matematica)|cuspide]] (''a'',0).

La proprietà essenziale della trattrice è che la lunghezza della [[tangente (geometria)|tangente]] tra la stessa e l’assel'asse ‘’x’’‘'x’' (che ne rappresenta l’l'[[asintoto]]) rimane costante per qualsiasi punto.

# l’evoluzionel'evoluzione della funzione descritta da una corda flessible, non elastica ed omogenea bloccata agli estremi, soggetta ad un campo gravitazionale ed avente equazione: <math>y(x)=a \cdot \operatorname{ch}(x/a)</math>

#la traiettoria determinata dal punto medio dell’assedell'asse posteriore di un’un'[[automobile]] trainata da una corda con velocità e direzione costanti (inizialmente perpendicolare al veicolo); la funzione correlata ammette un asintoto orizzontale, la curva è simmetrica rispetto all’asseall'asse ''x'' e il raggio di curvatura è dato dall’equazionedall'equazione: <math>r=a \cdot \operatorname{ctg}(x/y)</math>.

Una grande implicazione fornita dalla trattrice fu lo studio della superficie creata dalla rivoluzione della stessa attorno al suo asintoto: la [[pseudosfera]] (analizzata da [[Eugenio Beltrami]] nel [[1868]], che si rivelò particolarmente interessante nell’interpretazionenell'interpretazione della [[geometrie non euclidee|geometria non euclidea]] di [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]]). A differenza della [[sfera]], che possiede una curvatura gaussiana costante e positiva, la [[pseudosfera]] ha invece una curvatura gaussiana costante e negativa.

* La lunghezza dell’arcodell'arco di uno dei rami tra ''x=x₁'' e ''x=x₂'' vale <math>a \ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)</math>

* L’areaL'area compresa tra la trattrice e il suo asintoto è: <math>\pi a^2/2</math>, che può essere calcolata tramite un [[integrale]].

* L’L'[[inviluppo (matematica)|inviluppo]] delle [[Normale (superficie)|normali]] della trattrice, ossia l’l'[[evoluta]] della trattrice, è la [[catenaria]] data dall’equazionedall'equazione: <math>x = a\cosh\frac{y}{a}</math>.