Differenze tra le versioni di "Teorema di Sylvester-Gallai"

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Il '''Teoremateorema di Sylvester–Gallai''' (in origine una congettura nota come '''problema di Sylvester''') afferma che dato un numeroinsieme finito superioredi aalmeno 2 di3 punti in undel [[Piano (geometria)|piano]], allorae fatto salvo il caso in cui siano tutti allineati, non è possibile disporli in una configurazione tale che ogni retta che passi per due punti ne contenga anche un terzo.
 
In altri termini, è vera la seguente alternativa:
# o tutti i punti sono allineati;
# ooppure esiste almeno una [[retta]] che contiene esattamentesolo due dei punti dell'insieme.
 
Questo enunciato, molto intuitivo e di semplice formulazione, fu proposto come [[Problemi irrisolti in matematica|problema aperto]] da [[James Joseph Sylvester]] nel [[1893]] e dimostratorisolto dasolo nel [[Tibor Gallai1944]] nelda [[1944Tibor Gallai]]. Una versione maggiormentepiù quantitativa del teoremadell'enunciato è il [[teorema di Beck]]. Il teorema di Sylvester-Gallai non è vero per un insieme di [[Infinito (matematica)|infiniti]] punti: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme <math>{\Bbb Z} \times {\Bbb Z}</math>.
 
L'enunciato non è vero per un insieme di [[Infinito (matematica)|infiniti]] punti del piano: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme <math>{\Bbb Z} \times {\Bbb Z}</math>.
== Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai ==
 
== Dimostrazione ==
 
Supponiamo di avere un insieme ''S'' contenente un numero finito di almeno 3 punti non tutti allineati. Definiamo ''retta di connessione'' per ''S'' una retta del piano che contiene almeno due punti della collezione; si tratta di individuare una retta di connessione che contiene ''esattamente'' due punti.
Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione ''l'' ed un punto ''P'' in ''S'' - ''l'' e abbiamo trovato che aut ''l'' contiene esattamente due punti aut esistono un'altra retta di connessione ''m'' ed un punto ''B'' in ''S'' - ''m'' tali che la distanza fra ''B'' e ''m'' è minore della distanza fra ''P'' ed ''l''. Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo ''P'' ed ''l'' con ''B'' ed ''m''. Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché il numero di distanze positive possibili fra i punti e le rette di connessione è finito, dato che S è finito. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti. [[QDE]]
 
== Generalizzazioni del teorema di Sylvester-Gallai ==
 
Mentre il teorema di Sylvester-Gallai garantisce l'esistenza di almeno una retta contenente esattamente 2 punti, non è ancora stata trovata alcuna disposizione di punti con esattamente una retta contenente solo due punti. Ciò portò [[Gabriel Andrew Dirac]] a congetturare che, per qualsiasi insieme di <math>n</math> punti, non tutti allineati, esistono almeno <math>n/2</math> rette contenenti esattamente due punti. Attualmente, sono noti due controesempi alla congettura di Dirac: il [[piano di Fano]] (7 punti) e la configurazione di McKee (13 punti). Kelly e Moser dimostrarono nel [[1958]] che esistono almeno 3''n''/7 rette che contengono esattamente due punti, e nel [[1993]] Csima e Sawyer hanno dimostrato che, per ''n''&nbsp;>&nbsp;7, ne esistono almeno 6''n''/13.
*L. Kelly and W. Moser. ''On the number of ordinary lines determined by n points''. Canadian Journal of Mathematics, 10:210–219, 1958.
*J. Csima and E. Sawyer. ''There exist 6n/13 ordinary points''. Discrete and Computational Geometry, 9:187–202, 1993.
 
 
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[[Categoria:Geometria euclidea]]
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