Trasformazione di Box-Muller: differenze tra le versioni

Assegnati <math>u</math> e <math>v</math>, indipendenti ed uniformemente distribuiti nell'intervallo chiuso <math>[-1,+1]</math>, si pone <math>s = R^2 = u^2 + v^2</math>. (Ovviamente <math>R = \sqrt{s}</math>.) Se <math>s=0</math> o <math>s > 1</math>, si trascurano <math>u</math> e <math>v</math> e si considera un'altra coppia <math>(u,v)</math>. Si continua fino a trovare una coppia con <math>s</math> nell'intervallo aperto <math>(0,1)</math>. Dal momento che <math>u</math> e <math>v</math> sono distribuiti uniformemente e poiché solamente i punti all'interno della circonferenza unitaria sono stati accettati, anche i valori di <math>s</math> saranno distribuiti uniformemente nell'intervallo aperto <math>(0,1)]</math> .

Il valore di <math>s</math> si identifica con quello della forma base, <math>U_1</math>. Come mostrato in figura, i valori di <math>\cos \theta = \cos 2 \pi U_2</math> e <math>\sin \theta = \sin 2 \pi U_2</math> nella forma base possono essere sostituiti con i rapporti <math>\cos \theta = u/R = u/\sqrt{s}</math> e <math>\sin \theta = v/R = v/\sqrt{s}</math> rispettivamente. Il vantaggio è dato dalla mancata valutazione delle funzioni trigonometriche (che è un'operazione computazionalmente più onerosa di un rapporto). Così come per la forma base, si sono ottenute due variabili gaussiane a varianza unitaria.

La forma polare differisce da quella base in quanto è un esempio di [[tecnica di rigetto]]. Vengono scartati alcuni numeri casuali, ma l'algoritmo è più veloce della forma base perché meno oneroso da valutare numericamente, (purché il [[Numeri pseudo-casuali|generatore di numeri casuali]] sia relativamente efficiente), e tipicamente più robusto.<ref name="Carter"/>

Si evita il l'utilizzo delle funzioni trigonometriche che sono tipicamente più costose delle divisioni; vengono scartate 1 − π/4 ≈ 21.46% del totale di coppie generate, ovvero si scartano 4/π − 1 ≈ 27.32% coppie di numeri casuali uniformemente distribuiti per ciascuna coppia di numeri casuali normalmente distribuiti, richiedendo 4/π ≈ 1.2732 numeri di input per numero generato.

La trasformata di Box-Muller viene utilizzata in simulazioni numeriche (di dinamica molecolare onel tramite il [[metodo Monte Carlo]]) ado per esempio per campionare la [[distribuzione di Maxwell-Boltzmann]].