Funzione poligamma: differenze tra le versioni

(aggiunto paragrafo "Alcuni valori particolari")
Si dimostra che
 
:<math>\frac{d}{d z}\ln{\Gamma{(z)}} = \frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_0(z) = - \gamma - \frac{1}{z} - \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k+z+k} - \frac{1}{k} \right) </math>
 
dove <math>\gamma</math> è la [[costante di Eulero-Mascheroni]]. Questa serie, per <math> z = m </math> intero positivo, si riduce ad una somma finita
Derivando membro a membro rispetto a <math>z</math> si ha, ancora,
 
:<math>\frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} = \psi_1(z) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+z+k)^2} </math>
 
che per <math> z = 0 </math> diverge, mentre per <math> z = 1 </math> diviene la [[Serie armonica#Dimostrazione della convergenza per α = 2|serie armonica generalizzata di ordine 2]]
 
:<math>\left[ \frac{d}{d z}\frac{\Gamma'{(z)}}{\Gamma{(z)}} \right]_{z=1} = \psi_1(1) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1+k)^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math>
 
 
== Bibliografia ==
Utente anonimo