Logaritmo naturale: differenze tra le versioni

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[[File:Log.svg|thumb|right|Grafico di ''y''=''ln(x)'']]
Il '''logaritmo naturale''', descritto per la prima volta da [[John Napier|Nepero]], è il [[logaritmo]] in base ''[[e (costante matematica)|e]]'', dove ''<math>e''</math> è uguale a <math>2,71828...\ldots</math> Il logaritmo naturale è definito per tutte le ''<math>x''</math> [[numeri reali|reali]] e positive, ma anche per i [[numeri complessi]] diversi da zero.
 
== Definizione ==
 
Se la [[funzione esponenziale]] è stata definita usando una [[serie infinita]], il logaritmo naturale può essere definito come la sua [[funzione inversa]], intendendo che <math>\ln(x)</math> è il numero per cui <math>e^{\ln(x)} = x</math>. Dal momento che il [[dominio (matematica)|dominio]] della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è [[funzione crescente|strettamente crescente]], questa è definita per tutte le ''<math>x'' positive e</math> reali positive.
 
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Il logaritmo naturale di <math> a </math> è l'[[area]] sottesa dal [[grafico di una funzione|grafico]] di <math>1/x</math> da <math>1</math> ad <math>a</math>. In altre parole, è il risultato dell'[[integrale]]
:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx\quad\quad\text{ per ogni }a>0</math>.
</div>
 
== Convenzioni ==
* I [[matematico|matematici]] sono soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere log<sub>e</sub>(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log<sub>10</sub>(x) è il logaritmo in base <math>10</math> di ''<math>x''</math>).
* [[ingegnere|Ingegneri]], [[biologo|biologi]] e altre professioni generalmente scrivono "ln(x)" o (raramente) "log<sub>e</sub>(x)" per intendere il logaritmo naturale di ''<math>x''</math>, mentre per "log(x)" sottintendono log<sub>10</sub>(x).
* Nei più comuni [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]], tra cui [[C (linguaggio)|C]], [[C++]], [[Fortran]], e [[BASIC]], "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
* Nelle [[calcolatrice|calcolatrici]] il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base <math>10</math>.
 
== La funzione inversa dell'esponenziale in base ''e'' ==
La funzione logaritmo è la [[funzione inversa]] della [[funzione esponenziale]], quindi si ha che:
:<math>e^{\ln(x)} = x \quad </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; per tutte le ''<math>x''</math> positive e
:<math>\ln(e^x) = x \,\! quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; per tutte le ''<math>x''</math> reali.
 
In altre parole, la funzione logaritmo è la [[corrispondenza biunivoca]] dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un [[isomorfismo]] da un [[gruppo (matematica)|gruppo]] di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
 
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale positiva esclusodiversa da <math>1</math>, non solo ''<math>e''</math>, einoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
 
== Derivata ==
== Serie comuni ==
 
La [[serie di Taylor]] centrata in <math>1</math> del logaritmo naturale è:
 
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \text{ per } -1<x\le1 </math>
Utilizzando l'identità
 
:<math>\ln x =\operatorname {artanh} \, \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right) \text{ per } x > 0 </math>
 
e sostituendo <math>\frac{x^2-1}{x^2+1}</math> nella serie di Taylor dell'[[Funzioni iperboliche|arcotangente iperbolica]] si ottiene
:<math>\ln x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac1{2n+1} \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{2n+1} \text{ per } x > 0 </math>
 
Applicando la [[trasformazione binomiale]] alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni <math>x</math> con valore assoluto maggiore di <math>1</math>:
 
:<math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots</math>
 
Si noti inoltre che <math> x \over {x-1} </math> è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero ''<math>y''</math> è sufficiente sostituire <math> y \over {y-1} </math> al posto di ''<math>x''</math>.
 
Una serie esotica dovuta a [[Bill Gosper]] è la seguente:
:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.</math>
 
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma ''<math>g''(''x'') = ''f''&nbsp;'(''x'')/''f''(''x'')</math> che si traducono nella scrittura <math>\ln(|''f''(''x'')|)</math>: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del [[valore assoluto]] di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le [[funzione composta|funzioni composte]], ossia:
 
:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>
Cioè
 
:<math>\int { dx \over x} = \ln|x| + C,</math>
 
e
 
=== Esempi ===
Se ''<math>g(x)''</math> =è la ''[[tangente (matematica)|tgtangente]]( di <math>x)''</math>, allora:
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>
Da cui ponendo <math>f(x)=\cos (x)</math> si ha che <math>f'(x)=\sin(x)</math> e quindi:
Se ''f(x)'' = ''[[coseno|cos(x)]]'' e ''f'(x)'' = ''[[Seno (matematica)|sen(x)]]'', allora:
:<math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C</math>
dove ''<math>C''</math> è la costante reale arbitraria degli [[integrale indefinito|integrali indefiniti]].
 
== Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base ==
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base <math>10</math>. È ancora utile per ottenere l'[[ordine di grandezza]] di un numero neperiano (che è appunto una [[potenza (matematica)|potenza]] di <math>10</math>):
 
:<math>\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}</math>
che diventa:
 
:<math>\ln x = \frac{\textoperatorname{Log } x}{\textoperatorname{Log } e}</math>
 
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
 
:<math>\textoperatorname{Log } e = 0,43429...\ldots</math>
 
e
 
:<math>\frac{1}{\textoperatorname{Log } e} = 2{,}30258...\ldots</math>.
 
== Voci correlate ==