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Riga 1: In [[matematica]], per '''fattoriale crescente di ''<math>x''</math> con ''<math>n''</math> fattori''' si intende il prodotto della forma :<math>x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = \prod_{k=1}^n (x+k-1)</math> . Qui ''<math>n''</math> denota un intero naturale, mentre ''<math>x''</math> può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un [[anello (algebra)\|anello]] (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello). Per denotare la precedente espressione si usano varie notazioni: :<math>(x)_n~~\,:~~=\,x^{\overline{n}}\,=x^{(n)}:=\,x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)~~\,:~~=\,\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}.</math> La prima notazione spesso utilizzata, soprattutto per studiare [[Funzione speciale\|funzioni speciali]], viene detta '''simbolo di Pochhammer''', in quanto è stata introdotta dal matematico tedesco [[Leo August Pochhammer]]. Taluni, in combinatorica, usano lail ~~precedente~~simbolo di ~~scrittura~~Pochhammer per denotare il '''fattoriale decrescente di <math>x</math> con <math>n</math> fattori''' :<math>x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \prod_{k=1}^n (x-k+1)</math> ; Riga 14: questa espressione usando il simbolo di Pochhammer sopra definito sarebbe data da :<math>\,(x-n+1)_n</math> Una notazione alternativa utilizzata da [[Ronald L. Graham]], [[Donald E. Knuth]] e [[Oren Patashnik]] nel loro libro ''[[Concrete Mathematics]]'' esprime rispettivamente il fattoriale crescente come :<math>x^{\overline{n}} \,:=\, x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = (x)_n ,</math> e il fattoriale decrescente come :<math>x^{\underline{n}} \,:=\, x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = (x-n+1)_n .</math> . Essa ha due pregi: distinguersi nettamente da altre notazioni ed evidenziare il parallelismo tra le due costruzioni. Per <math>n=0</math> fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il [[prodotto vuoto]], cioè :<math>x^{\overline{0}} = x^{\underline{0}} = (x)_0 = 1 .</math> . Sia il fattoriale crescente che il fattoriale decrescente possono essere espressi mediante un [[coefficiente binomiale]]: :<math>{x \choose n} = \frac{x^{\underline{n}}}{n!},</math> :<math>{x+n-1 \choose n} = \frac{x^{ \overline{n}}}{n!} = \frac{(x)_n}{n!}.</math> Quindi le numerose identità riguardanti i coefficienti binomiali conducono a corrispondenti identità per i fattoriali crescenti e decrescenti. == Collegamento con il [[calcolo umbrale]] == I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come [[polinomio\|polinomi]] nella variabile ''<math>x''</math> e le due successioni :<math> x^{\overline{n}} \ \mbox{ per } \ n=0,1,2,~~...~~\ldots \qquad x^{\underline{n}} \ \mbox{ per } \ n=0,1,2,~~...~~\ldots </math> come [[successione di polinomi\|successioni di polinomi]]. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'[[operatore alle differenze in avanti]] Δ<math>\Delta</math>, formule corrispondenti al [[teorema di Taylor]] del [[calcolo infinitesimale]] indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle [[differenza finita\|differenze finite]] giocano il ruolo che i polinomi <math>\,x^n</math> giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la :<math>\,\Delta (x)_k = k (x)_{k-1},</math> e la :<math>\,D x^k = k x^{k-1}</math> (dove <math>D</math> denota la [[derivata]] rispetto alla variabile <math>x</math>). La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno [[calcolo umbrale]]. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle [[sequenza polinomiale di tipo binomiale\|sequenze polinomiali di tipo binomiale]] e la teoria delle [[successione di Sheffer\|successioni di Sheffer]].▼ ~~(dove ''D'' denota la [[derivata\|differenziazione]] rispetto alla variabile ''x'').~~ ▲La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno [[calcolo umbrale]]. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle [[sequenza polinomiale di tipo binomiale\|sequenze polinomiali di tipo binomiale]] e la teoria delle [[successione di Sheffer\|successioni di Sheffer]]. == Voci correlate ==

Fattoriale crescente: differenze tra le versioni