Superficie di Boy: differenze tra le versioni
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dove ''x'', ''y'', and ''z'' sono le [[coordinate cartesiane]] desiderate di un punto generico della superficie di Boy.
Se proviamo ainverrtire questa parametrizzazione centrandola sul punto triplo, otteniamo una [[superficie minima]] con tre "punti di fine" (quindi una superficie - [[spazio topologico]] con altri tre [[spazio connesso|spazi connessi]] al suo "limite ideale"). Questo significata che la parametrizzazione di Bryant-Kusner è "ottima" perché è l'immersione "meno piegata" di un piano proiettivo nello spazio tridimensionale.
=== Relazione della superficie di Boy col piano proietticvo reale ===
Sia <math>P(w) = (x(w), y(w), z(w))</math>la parametrizzazione di una superficie di Boy, secondo Bryant-Kusner. Allora
:<math> P(w) = P\left(-{1 \over w^\star} \right). </math>
Ciò illustra la condizione sul parametro in cui <math>\left\| w \right\| \le 1 </math>: se <math>\left\| w \right\| < 1,</math> allora <math> \left\| - {1 \over w^\star} \right\| > 1 .</math> Le cose si fanno leggermente più complicate se <math> \left \| w \right\| = 1.</math> In questo caso, abbiamo <math> - {1 \over w^\star} =-w .</math> Ciò significa che per <math> \left \| w \right\| = 1, </math> il punto della superifcie di Boy è ottenuto da due valori del parametro: <math>P(w)=P(-w).</math> In altre parole, la superficie di Boy è stata parametrizzata a partire da una disco tale che sono equivalenti tra loro una coppia di punti diametricamente opposti situati sul perimetro del disco. Ciò mostra che la supericie di Boy è un'immagine del piano proiettivo reale, ''RP<sup>2</sup>'' tramite una [[funzione liscia]], vale a dire una immersione del piano proiettivo reale dentro lo [[spazio euclideo]].
== Voci correlate ==
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