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Teorema di Parseval: differenze tra le versioni

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==Applicazioni==
SiNel considerinocaso di due [[segnale di energia|segnali di energia]] <math>h(t)</math> e <math>g(t)</math>, con trasformate di Fourier rispettivamente <math>H(\omega)</math> e <math>G(\omega)</math>., Ilcon <math>\omega = 2\pi f</math>, il teorema di Parseval stabiliscesi scrive spesso nella cheforma:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}</math>
 
PoichéInfatti, la trasformata di Fourier diesprimendo <math>h(t)</math> esiste, allora la funzione può essere espressa attraverso l'antitrasformata di Fourier di <math>H(\omega)</math>, ovverosi ha:
 
:<math>h(t) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega}</math>
 
e quindi:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{ \left[ \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega} \right] g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)^*e^{j\omega t}dt} \right] d\omega}</math>
 
Scambiandoove nell'ultimo termine si sono scambiate l'integrazione nel tempo e quella in frequenza. Poiché anche <math>g(t)</math> è per ipotesi un segnale di energia, si ottieneconclude che, come volevasi dimostrare:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)^*e^{j\omega t}dt} \right] d\omega}</math>
 
Poiché anche <math>g(t)</math> è per ipotesi un segnale di energia, si conclude che come volevasi dimostrare:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty{h(t)g(t)^*dt}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega) \left[ \int_{-\infty}^\infty{g(t)e^{-j\omega t}dt} \right]^* d\omega}=\int_{-\infty}^\infty{H(\omega)G(\omega)^*d\omega}</math>
 
 
ConsiderandoNel incaso particolare nel quale <math>h(t)=g(t)</math> si ottiene:
 
:<math>\int_{-\infty}^\infty{ \left | h(t) \right |^2 dt}=\int_{-\infty}^\infty{ \left | H(\omega) \right |^2 d\omega}</math>
Line 85 ⟶ 81:
 
 
InUna dimostrazione alternativa, può essere ottenuta tenendo conto del [[teorema di Wiener-Khinchin]], si può. considerare
Considerando che per ogni funzione trasformabile secondo Fourier si ha:
 
:<math>h(t) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)e^{j\omega t}d\omega}</math>
 
da cui ponendo <math>t=0</math> si ottiene:
 
:<math>h(0) = \int_{-\infty}^\infty{H(\omega)d\omega}</math>
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Parseval"