Numero p-adico: differenze tra le versioni

Il sistema dei '''numeri <math>p</math>-adici''' è stato descritto per la prima volta da [[Kurt Hensel]] nel [[1897]]. Per ogni [[numero primo]] ''<math>p''</math>, il sistema dei numeri <math>p</math>-adici estende l'[[aritmetica]] dei [[numero razionale|numeri razionali]] in modo differente rispetto all'estensione verso i [[numero reale|numeri reali]] e [[numero complesso|complessi]]. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella [[teoria dei numeri]].

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di [[valore assoluto]]. Il motivo della creazione dei numeri <math>p</math>-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle [[serie di potenze]] nel campo della [[teoria dei numeri]]. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei <math>p</math>-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo.

Più concretamente per un dato [[numero primo]] ''<math>p''</math>, il [[campo (matematica)|campo]] '''''Q'''<submath>p\Q_p</submath>'' dei ''numeri <math>p</math>-adici'' è un'estensione dei [[numero razionale|numeri razionali]]. Se tutti i campi '''''Q'''<submath>p\Q_p</submath>'' vengono considerati collettivamente, arriviamo al [[principio locale-globale]] di [[Helmut Hasse]], il quale a grandi linee afferma che certe [[equazione|equazioni]] possono essere risolte nell'insieme dei [[numero razionale|numeri razionali]] se e solo se possono essere risolte negli [[insieme|insiemi]] dei [[numero reale|numeri reali]] e dei numeri <math>p</math>-adici per ogni ''<math>p''</math>. Il campo '''''Q'''<submath>p\Q_p</submath>'' possiede una [[topologia]] derivataindotta da una [[metrica]], che è, a sua volta, derivataindotta da una stima[[Norma (matematica)|norma]] alternativa deisui [[numero razionale|numeri razionali]]. Questa [[metrica]] è completa, nel senso che ogni [[serie]] di [[Cauchy]] converge.

Nel campo delle [[curva ellittica|curve ellittiche]], i numeri <math>p</math>-adici sono conosciuti come numeri <math>\ell </math>-adici, a causa dei lavori di [[Jean-Pierre Serre]]. Il numero primo ''<math>p''</math> è spesso riservato per l'[[aritmetica modulare]] di queste curve.

L'introduzione più semplice ai numeri <math>p</math>-adici è considerare i ''numeri <math>10</math>-adici'', che sono gli [[numero intero|interi]] con un [[infinito (matematica)|infinito]] numero di [[cifra|cifre]] a sinistra. Si prenda per esempio il [[numero]] ...<math>\ldots 9999</math>, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "<math>9</math>", e si eseguano su di esso delle [[operazione aritmetica|operazioni aritmetiche]]. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero <math>1</math> (che in formato <math>p</math>-adico è ...<math>\ldots 0001</math>), otteniamo:

<math>\frac{{\;\;\; ...\ldots 9999 \atop + ...\ldots 0001}}{...\ldots 0000}</math>

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un <math>1</math>. Per i numeri <math>10</math>-adici si ha quindi che ...<math>\ldots 9999 = -1</math>. Ne segue che gli [[numero intero|interi]] [[numero negativo|negativi]] possono essere rappresentati come una serie di [[cifra|cifre]], dove quelle a sinistra sono <math>9</math>. Gli avvezzi all'[[informatica]] avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione [[complemento a due]], nella quale i [[numero negativo|numeri negativi]] sono scritti con una serie di <math>1</math> a sinistra; nei ''<math>2</math>-adici'' avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra ''<math>p''-1</math> per i numeri ''<math>p''</math>-adici.

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di <math>\mathbb{Q}</math> non la [[norma euclidea]], ma appunto la [[norma p-adica]] definita da:

dove <math>||x||_p=n\left(in\frac{1}{p}\right)^nZ</math> dovee <math>x\in\mathbb{Q}</math> è scritto in forma irriducibile, <math>n\in\mathbb{Z}</math>cioè tale che <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, con <math>p\nmid a,</math> p\nmide <math>b</math>, coninteri tali che <math>p\nmid a, b</math> e <math>p\nmid interib</math>.

Ovviamente da questaQuesta [[Norma (matematica)|norma]] si definisceinduce di conseguenza una [[Distanza (matematica)|distanza]] e quindi si può quindi parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri <math>p</math>-adici <math>\mathbb{Q}_pQ_p</math> vengono definiti come il [[Spazio completo|completamento]] secondo Cauchy di <math>\mathbb{Q}</math> con la norma <math>p</math>-adica. I numeri <math>p</math>-adici di norma minore o uguale a <math>1</math> sono detti interi <math>p</math>-adici e l'insieme di tutti gli interi <math>p</math>-adici, in genere indicato con <math>\mathbb{Z}_pZ_p</math>, forma un sottoanello di <math>\mathbb{Q}_pQ_p.</math>.

Viene definita anche la valutazione p-adica <math>v_p(a)=\log_{\frac{1}{p}}||a||_p</math>-adica come la [[Valutazione (matematica)|valutazione]]:

L'approccio algebrico consiste nel considerare <math>\mathbb{Q}_pQ_p</math> come il [[campo deidelle quozientifrazioni]] di <math>\mathbb{Z}_pZ_p</math>, che a sua volta è il [[limite proiettivo]] di <math>\mathbb{Z}/(p^n)\Z</math>.

La caratteristica di <math>\mathbb{Q}_pQ_p</math> è <math>0</math> ed infatti il suo sottocampo fondamentale è <math>\mathbb{Q}</math>, e che <math>\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}_pQ_p</math> si vede immediatamente dalla costruzione analitica.

Un modo comune di rappresentare un numero <math>p</math>-adico <math>a\in\mathbb{Q}_pQ_p</math> è il seguente:

:<math>a=\sum_{i=n}^{\infty}a_ip^i,</math>