Argomento diagonale di Cantor: differenze tra le versioni
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m →Non numerabilità dei numeri reali: anche 0 |
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#:Nell'esempio otteniamo:
#: ''x'' = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
#:In realtà ci sono diversi modi di definire numeri con tutte le cifre diverse dalla diagonale, per esempio si potrebbe prendere la cifra successiva [[aritmetica modulare|modulo]] 9, ai fini della dimostrazione l'importante è che non si possa ottenere un ''x'' che termina con 9 periodico o con una sequenza di 0 (perché in tal caso la sua differenza dai numeri elencati della matrice potrebbe essere solo apparente).
# All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista {''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, ... } enumerasse ''tutti'' i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere ''r''<sub>''n''</sub> = ''x'' per qualche ''n''.
# A questo punto emerge una [[contraddizione]]: ''x'' è diverso da ''r''<sub>''1''</sub> perché differiscono almeno per la prima cifra decimale, ''x'' è diverso anche da ''r''<sub>''2''</sub> da cui differisce almeno per la seconda cifra decimale, e analogamente sarà diverso da ''r''<sub>''3''</sub>, ''r''<sub>''4''</sub> e così via. In altre parole ''x'' è diverso da ogni ''r''<sub>''n''</sub>; dunque abbiamo trovato un numero ''x'' in [0,1] che non fa parte della successione di partenza, ma questo contraddice la nostra ipotesi che {''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, ...} fosse una enumerazione di tutti gli elementi di [0,1] e dunque siamo giunti ad un [[dimostrazione per assurdo|assurdo]]; ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè [0,1] non è numerabile. <math>\square</math>
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