Formule di prostaferesi: differenze tra le versioni

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(Le formule di addizione/sottrazione sono quelle che risolvono, e.g., sin(a+b) mentre le formule di prostaferesi risolvono sin(a)+sin(b).)
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:<math>\sin\alpha+\sin\beta=2\,\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{Approfondimento
{{nota
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
:<math>\sin\alpha-\sin\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \,\sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{notaApprofondimento|titolo = Dimostrazione|contenuto = Si tratta in effetti della Prima formula calcolata cambiando il segno del secondo angolo. La formula di partenza può essere riscritta come: :<math>\sin \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2} \right)-\sin \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)</math> Da cui, utilizzando la [[Trigonometria#Formule di addizione|formula di addizione]] per il [[seno (trigonometria)|seno]], si ottiene: :<math>\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}</math> Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene: :<math>\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}</math> Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene: :<math>2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>|larghezza = 100%}}
 
== Terza formula di prostaferesi ==
:<math>\cos\alpha+\cos\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{Approfondimento
{{nota
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
:<math>\cos\alpha-\cos\beta=-2 \,\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \,\sin \frac {\alpha-\beta}{2}</math>
 
{{Approfondimento
{{nota
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
:<math>\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac {\sin(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} \qquad \mathrm{con} \ \alpha,\beta \ne (2k+1) \frac{\pi}{2} ; k \in \Z </math>
 
{{Approfondimento
{{nota
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
:<math>\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac {\sin(\beta\pm\alpha)} {\sin\alpha \, \sin\beta} \qquad \mathrm{con} \ \alpha,\beta \ne k \pi ; k \in \Z </math>
 
{{Approfondimento
{{nota
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
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