Dominio d'integrità: differenze tra le versioni

Se <math>A</math> è un dominio d'integrità, un elemento primo E MAGARI NON INVERTIBILE è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che <math>p=ab</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di <math>A</math>. Allora <math>p</math> divide <math>ab</math>. Quindi <math>p|a</math> oppure <math>p|b</math> perché <math>p</math> è primo. Supponiamo <math>p|a</math>, cioè <mathma th>a=pq</math>. Quindi <math>p=pqb</math>, ovvero <math>p(1-qb)=0</math>. Poiché <math>A</math> è un dominio di integrità e <math>p</math> non è lo zero, abbiamo <math>qb=1</math> e quindi <math>b</math> è un'unità. Quindi <math>p</math> è irriducibile.