Differenze tra le versioni di "Divisione per zero"

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In [[matematica]], una '''divisione per zero''' è una [[divisione (matematica)|divisione]] della forma <math display="inline">\frac{a}{0}</math>. Il risultato ''non esiste'' (cioè l'espressione non ha significato) in [[aritmetica]] e in [[algebra]].
 
È piuttosto diffusa l'errata opinione per cui il valore di <math display="inline">\frac{a}{0}</math> sarebbe <math>\infty</math> ([[infinito (matematica)|infinito]]). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a una un'interpretazione della divisione in termini della teoria dei [[Limite (matematica)|limiti]] dell'[[analisi matematica]].
 
Un primissimo riferimento registrato dell'impossibilità di assegnare un risultato alla divisione per zero si ha nella critica al calcolo infinitesimale contenuta in ''The Analyst'' di George Berkeley.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Cajori|nome= Florian|wkautore= Florian Cajori|rivista= The Mathematics Teacher|jstor = 27951153|pp= 366–368|titolo= Absurdities due to division by zero: An historical note}}</ref>
 
== Interpretazione algebrica ==
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su [[Numero intero|interi]], [[numeri razionali]], [[numeri reali]] e [[numeri complessi]], il valore di una divisione per zero è ''indefinito'', così come in un qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il motivo è che la [[divisione (matematica)|divisione]] è definita in modo da essere l'operazione inversa della [[moltiplicazione]]. Questo significa che il valore di <math display="inline">{a \over b}</math> è la soluzione ''<math>x''</math> dell'equazione
 
:<math>b\,x = a</math>
 
qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione <math display="inline">{a \over b}</math> è indefinita. Per <math display="inline">b = 0</math>, l'equazione <math display="inline">b\,x = a</math> può essere riscritta come <math display="inline">0\,x = a</math> o semplicemente <math display="inline">0 = a</math>. Quindi, in questo caso, l'equazione <math display="inline">b\,x = a</math> ha ''nessuna soluzione'' se <math>a</math> è diverso da <math>0</math>, e ne ha ''infinite'' se <math display="inline">a</math> è uguale a <math>0</math>. In entrambi i casi, <math display="inline">{a \over b}</math> è indefinito. Al contrario, per inegli sistemiinsiemi numerici menzionati sopra, l'espressione <math display="inline">{a \over b}</math> è ''sempre'' definita se <math display="inline">b</math> non è uguale a zero.
 
=== Dimostrazioni fallaci basate sulla divisione per zero ===
<small>(Il termine di sinistra è ottenuto come caso particolare della ben nota regola</small> {{Tutto attaccato|1 = (''a'' + ''b'')(''a'' - ''b'') = ''a''<sup>2</sup> - ''b''<sup>2</sup>}} <small>; quello di destra semplicemente raccogliendo ''x'' a fattor comune)</small>
 
* Dividendo entrambi i membri per {{Tutto attaccato|<math>x - x }}</math>:
::<math> x + x = x.</math>
 
* Poiché questo è valido per ogni valore reale di <math>x</math> possiamo sostituire {{Tutto attaccato|1 = <math>x = 1}}-x</math>.
::<math>2 = 1.</math>
 
La [[fallacia]] è nell'assumere che la divisione per {{Tutto attaccato|<math>1 = x - x = 0}}</math> sia definita. In pratica, la divisione per un termine in una qualunque dimostrazione algebrica richiede o una esplicita assunzione che il termine non sia mai zero o una separata giustificazione che mostri che tale termine non possa mai essere zero.
 
=== Algebra astratta ===
 
== Limiti e divisione per zero ==
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire <math display="inline">{a \over 0}</math> considerando il [[limite (matematica)|limite]] di <math display="inline">{a \over b}</math> con ''<math>b''</math> che tende a <math>0</math>.
 
Con ''<math>b''</math> che tende a <math>0</math> da destra (positivo), per ogni <math>a</math> maggiore di zero (positivo), è noto che:
 
:<math>\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = +\infty</math>
 
invece per ogni ''<math>a''</math> minore di zero (negativo),
 
:<math>\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = -\infty.</math>
 
Studiando invece il limite con ''<math>b''</math> che tende a <math>0</math> da sinistra (negativo), per ''<math>a''</math> positivo
 
:<math>\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = -\infty,</math>
 
e per ''<math>a''</math> negativo
 
:<math>\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = +\infty.</math>
:<math>+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,</math>
 
si giunge al risultato errato {{Tutto attaccato|1 = <bigmath>+∞</big> \infty= <big> −∞-\infty</bigmath>}} (che è scaturito dal non considerare la diversità del limite destro e sinistro in <math>0</math>). Si potrebbe anche condurre uno studio considerando un "infinito senza segno", ma la definizione che ne risulterebbe non sarebbe generalmente utile ein questo contesto poiché non sarebbe compatibile con la struttura dei numeri reali di [[campo ordinato]].
 
L'equazione
:<math>0x=a,</math>
 
ancora non possiede soluzione per ogni ''<math>a''</math> finito. Inoltre, non vi è nessuna definizione ovvia di <math display="inline">{0 \over 0}</math> che possa essere derivata considerando il limite di una divisione. Il limite
 
:<math> \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} </math>
:<math> \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)}</math>
 
nei quali sia ƒ<math>f(''x'')</math> e ''<math>g''(''x'')</math> tendono a <math>0</math> quando ''<math>x''</math> tende a <math>0</math>, possono convergere a qualunque valore o non convergere affatto. Vedere la [[regola di De L'Hôpital]] per discussioni ed esempi sui limiti di rapporti.
 
== In analisi matematica ==
Nella [[teoria delle distribuzioni]] si può estendere la funzione <math display="inline">{1 \over x}</math> ad una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il [[valore principale di Cauchy]]). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con {{Tutto attaccato|1 = ''<math>x'' = 0}}</math>; una risposta sofisticata si appoggia al [[supporto singolare]] della distribuzione.
 
== Altri sistemi numerici ==
== Aritmetica dei calcolatori ==
[[File:TI86 Calculator DivByZero.jpg|thumb|Tentativo di effettuare una divisione per zero su una [[calcolatrice grafica]].]]
Nello standard [[IEEE 754]] per la virgola mobile, supportato da praticamente tutti i moderni [[processore|processori]], viene specificato che ogni operazione aritmetica in [[virgola mobile]], compresa la divisione per zero, ha un risultato ben definito. Nell'aritmetica IEEE 754, <math display="inline">{{Tutto attaccato|''a'' /\over 0}}</math> è infinito positivo quando ''<math>a''</math> è positivo, infinito negativo quando ''<math>a''</math> è negativo, e [[NaN]] (''not a number'') quando {{Tutto attaccato|1 = ''<math>a'' = 0}}</math>.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Cody|nome=W.J.|titolo=Analysis of Proposals for the Floating-Point Standard|rivista=Computer|data=March 1981|volume=14|numero=3|pp=65|doi=10.1109/C-M.1981.220379|url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=1667286|accesso=11 settembre 2012|citazione=With appropriate care to be certain that the algebraic signs are not determined by rounding error, the affine mode preserves order relations while fixing up overflow. Thus, for example, the reciprocal of a negative number which underflows is still negative.}}</ref> Queste definizioni derivano dalle proprietà dei limiti di rapporti, come discusso sopra.
 
La divisione intera per zero è generalmente gestita differentemente poiché non vi è una rappresentazione intera per il risultato. La maggior parte dei processori genera una [[eccezione (informatica)|eccezione]] quando viene tentata la divisione intera per zero. Il risultato è tipicamente la terminazione del programma anche se in alcuni casi (specialmente quelli che impiegano l'aritmetica a [[virgola fissa]] nel caso in cui non sia disponibile hardware dedicato per la virgola mobile) viene impiegato un comportamento simile allo standard IEEE, utilizzando grandi numeri positivi e negativi per approssimare gli infiniti.