Divisione per zero: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una '''divisione per zero''' è una [[divisione (matematica)|divisione]] della forma <math display="inline">\frac{a}{0}</math>. Il risultato ''non esiste'' (cioè l'espressione non ha significato) in [[aritmetica]] e in [[algebra]].
È piuttosto diffusa l'errata opinione per cui il valore di <math display="inline">\frac{a}{0}</math> sarebbe <math>\infty</math> ([[infinito (matematica)|infinito]]). Questa affermazione fa riferimento, in modo non del tutto corretto, a
Un primissimo riferimento registrato dell'impossibilità di assegnare un risultato alla divisione per zero si ha nella critica al calcolo infinitesimale contenuta in ''The Analyst'' di George Berkeley.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Cajori|nome= Florian|wkautore= Florian Cajori|rivista= The Mathematics Teacher|jstor = 27951153|pp= 366–368|titolo= Absurdities due to division by zero: An historical note}}</ref>
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== Interpretazione algebrica ==
È generalmente stabilito fra i matematici che un modo naturale per interpretare la divisione per zero è prima definire la divisione in termini di altre operazioni aritmetiche. Stando alle normali regole per l'aritmetica su [[Numero intero|interi]], [[numeri razionali]], [[numeri reali]] e [[numeri complessi]], il valore di una divisione per zero è ''indefinito'', così come in un qualunque [[campo (matematica)|campo]]. Il motivo è che la [[divisione (matematica)|divisione]] è definita in modo da essere l'operazione inversa della [[moltiplicazione]]. Questo significa che il valore di <math display="inline">{a \over b}</math> è la soluzione
:<math>b\,x = a</math>
qualora un tale valore esista e sia unico. In caso contrario l'espressione <math display="inline">{a \over b}</math> è indefinita. Per <math display="inline">b = 0</math>, l'equazione <math display="inline">b\,x = a</math> può essere riscritta come <math display="inline">0\,x = a</math> o semplicemente <math display="inline">0 = a</math>. Quindi, in questo caso, l'equazione <math display="inline">b\,x = a</math> ha ''nessuna soluzione'' se <math>a</math> è diverso da <math>0</math>, e ne ha ''infinite'' se <math display="inline">a</math> è uguale a <math>0</math>. In entrambi i casi, <math display="inline">{a \over b}</math> è indefinito. Al contrario,
=== Dimostrazioni fallaci basate sulla divisione per zero ===
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<small>(Il termine di sinistra è ottenuto come caso particolare della ben nota regola</small> {{Tutto attaccato|1 = (''a'' + ''b'')(''a'' - ''b'') = ''a''<sup>2</sup> - ''b''<sup>2</sup>}} <small>; quello di destra semplicemente raccogliendo ''x'' a fattor comune)</small>
* Dividendo entrambi i membri per
::<math> x + x = x.</math>
* Poiché questo è valido per ogni valore reale di <math>x</math> possiamo sostituire
::<math>2 = 1.</math>
La [[fallacia]] è nell'assumere che la divisione per
=== Algebra astratta ===
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== Limiti e divisione per zero ==
Ad un primo acchito, potrebbe sembrare possibile definire <math display="inline">{a \over 0}</math> considerando il [[limite (matematica)|limite]] di <math display="inline">{a \over b}</math> con
Con
:<math>\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = +\infty</math>
invece per ogni
:<math>\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = -\infty.</math>
Studiando invece il limite con
:<math>\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = -\infty,</math>
e per
:<math>\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = +\infty.</math>
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:<math>+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,</math>
si giunge al risultato errato
L'equazione
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:<math>0x=a,</math>
ancora non possiede soluzione per ogni
:<math> \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} </math>
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:<math> \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)}</math>
nei quali sia
== In analisi matematica ==
Nella [[teoria delle distribuzioni]] si può estendere la funzione <math display="inline">{1 \over x}</math> ad una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]] sullo spazio intero dei numeri reali (utilizzando il [[valore principale di Cauchy]]). Non ha comunque senso chiedere il 'valore' di questa distribuzione con
== Altri sistemi numerici ==
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== Aritmetica dei calcolatori ==
[[File:TI86 Calculator DivByZero.jpg|thumb|Tentativo di effettuare una divisione per zero su una [[calcolatrice grafica]].]]
Nello standard [[IEEE 754]] per la virgola mobile, supportato da praticamente tutti i moderni [[processore|processori]], viene specificato che ogni operazione aritmetica in [[virgola mobile]], compresa la divisione per zero, ha un risultato ben definito. Nell'aritmetica IEEE 754, <math display="inline">{
La divisione intera per zero è generalmente gestita differentemente poiché non vi è una rappresentazione intera per il risultato. La maggior parte dei processori genera una [[eccezione (informatica)|eccezione]] quando viene tentata la divisione intera per zero. Il risultato è tipicamente la terminazione del programma anche se in alcuni casi (specialmente quelli che impiegano l'aritmetica a [[virgola fissa]] nel caso in cui non sia disponibile hardware dedicato per la virgola mobile) viene impiegato un comportamento simile allo standard IEEE, utilizzando grandi numeri positivi e negativi per approssimare gli infiniti.
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