Limite di una successione: differenze tra le versioni

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== Definizioni ==
===Limite nella retta reale ===
Un [[numero reale]] <math> l </math> è il [[limite (matematica)|limite]] di una [[successione (matematica)|successione]] di numeri reali <math>\{a_n\} </math> se la distanza fra i numeri <math> a_n </math> ed <math> l </math>, èdata arbitrariamente piccola quando <math> n </math> èdal [[sufficientementevalore grandeassoluto]]. La distanza fra <math> |a_n - l |</math>, edè arbitrariamente piccola quando <math> ln </math> è data dal [[valoresufficientemente assolutogrande]] <math> |a_n - l |</math>.
 
In altre parole, <math> l </math> è il limite della successione se per ogni <math> \forall\varepsilon > 0 </math> esiste un [[numero naturale]] <math>\;\exists N </math> tale che <math> \in\mathbb{N}|\;|a_n - l|<\varepsilon </math> per ogni <math>\;\forall n > N </math>. In questoe in tal caso si scrive:<ref>È usata anche la scrittura abbreviata <math>\lim_n a_n</math>, che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico [[punto di accumulazione]] è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]]</ref>
 
:<math>\lim_{n \to +\infty}a_n = l</math>
 
e si dice che la successione ''converge'' ad <math> l </math>.

Se <math> l=0 </math>, la successione è detta ''infinitesima''. Questa definizione chiarisce il fatto che l'espressione "infinitesima" non è appropriata per una grandezza ben determinata (anche se molto piccola), ma ha senso solo in riferimento ad una grandezza variabile.
 
La definizione di limite può essere estesa al caso <math> l = + \infty </math> e <math> l= - \infty </math> nel modo seguente. La successione <math> \{a_n\} </math> ha limite <math>+\infty</math> se raggiunge e mantiene valori arbitrariamente alti, cioè se per ogni <math> M > 0 </math> esiste un [[numero naturale]] <math> N </math> tale che <math> a_n > M </math> per ogni <math> n > N </math>.
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In uno [[spazio metrico]] <math>(X,d)</math>, dove <math>d</math> è la funzione [[Distanza (matematica)|distanza]], un punto <math> x </math> di <math> X </math> è il limite di una successione <math>\{x_n\}_n</math> se:
 
:<math>\forall\varepsilon>0 \;\exists N:|\forall n>N \;\;d(x_n,x)<\varepsilon</math>
 
Questa definizione coincide in <math>\mathbb{R}</math> con quella descritta sopra, se <math>\R </math> è considerato con la usuale [[metrica euclidea]], definita da <math>d(a,b)=|a-b|</math>.
 
===Limite in spazi topologici===
In uno [[spazio topologico]] <math>(X,\Sigmamathcal{T})</math>, un punto <math> x </math> è limite di una successione <math>\{x_n\}_n</math> se:
 
:<math>\forall V \in\Sigma :mathcal{T}|x \in V \;\exists N: \forall n>N \; x_n \in V</math>
 
== Proprietà di base ==