Delta di Dirac: differenze tra le versioni
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La delta di Dirac può essere definita sia come [[distribuzione (matematica)|distribuzione]], sia come [[misura (matematica)|misura]].
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La delta di Dirac può essere definita come una [[distribuzione (matematica)|distribuzione]], vale a dire un [[funzionale lineare]] [[Funzione continua|continuo]] su un opportuno spazio di funzioni dette [[funzione di test|funzioni di test]] o "di prova". Si consideri come spazio delle funzioni di prova lo [[spazio di Schwartz]], ovvero lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida <math>S(\mathbb R^n)</math> all'infinito e infinitamente derivabili, le cui derivate parziali sono ancora a decrescenza rapida.
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ovvero la delta di una funzione in un punto <math>a</math> è un funzionale che associa alla funzione il suo valore nel punto.
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Uno dei modi per definire la delta di Dirac è quello di considerarla una [[misura (matematica)|misura]] che, per ogni sottinsieme <math>A</math> dei numeri reali, restituisce <math>\delta(A) = 1</math> se <math>0 \in A</math> e <math>\delta(A) = 0</math> altrimenti. L'[[integrale di Lebesgue]] permette di definire l'integrazione rispetto alla misura <math>\delta</math>:
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per ogni funzione <math>f</math> continua a supporto compatto. Questa misura è singolare, e non è quindi [[Continuità assoluta|assolutamente continua]] rispetto alla [[misura di Lebesgue]]. Di conseguenza, la delta di Dirac non ha [[teorema di Radon-Nikodym|derivata di Radon-Nikodym]], ovvero non esiste nessuna funzione <math>\delta</math> tale che:
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\, \operatorname dx = f(0)</math>
L'uso di quest'ultima notazione per la delta è un [[abuso di notazione]], e la delta non è una distribuzione regolare.
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