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dove si utilizza la [[notazione di Einstein]].
===''n''Proprietà dimensionidi base===
In un generico numero ''n'' (finito) di dimensioni, qualora lo spazio abbia metrica definita positiva, cioè sia euclideo, vale la seguente espressione cartesiana:
:<math>\nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2 \over \partial {x_i}^2 }</math>
È anche possibile applicare l'operatore a un campo vettoriale <math>\mathbf f(\mathbf{x})= \mathbf{u}_{x} f_{x} + \mathbf{u}_{y} f_{y} + \mathbf{u}_{z} f_{z}</math>: in tal caso è sufficiente applicarlo separatamente alle tre componenti scalari cartesiane, e i tre scalari ottenuti rappresentano le componenti cartesiane del vettore risultante. Si ottiene quindi:
:<math> \nabla^2 \mathbf f=\mathbf{u}_{x}\nabla^2 f_{x} + \mathbf{u}_{y}\nabla^2 f_{y} + \mathbf{u}_{z}\nabla^2 f_{z} </math>
In coordinate sferiche, con la parametrizzazione <math>x=r\theta \in \R^n</math>, in cui <math>r</math> è il raggio e <math>\theta</math> un elemento della [[sfera unitaria]] <math>S^{n-1}</math>, si ha:
:<math> \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{n-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{n-1}} f
</math>
dove <math>\Delta_{S^{n-1}}</math> è l'[[operatore di Laplace-Beltrami]] sulla (''n''−1)-sfera, noto anche come ''laplaciano sferico''. I termini radiali possono essere anche scritti come:
:<math>\frac{1}{r^{n-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)</math>
Come conseguenza, il laplaciano sferico di una funzione definita su <math>S^{n-1} \subset \R^n</math> può essere calcolato come l'usuale laplaciano della funzione estesa a <math>\R^n</math>.
== Proprietà di base ==
Il laplaciano è un operatore lineare:
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