Ipersfera: differenze tra le versioni
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dove l'ultima variabile angolare <math>\phi _{n-1}</math> varia in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math> mentre le altre variano un intervallo di ampiezza <math>\pi</math>.
== Coordinate ipersferiche ==<!-- This section is linked from [[Spherical coordinate system]] -->▼
Strettamente correlata alla rappresentazione parametrica di un'ipersfera, c'è la definizione di coordinate ipersferiche.
In uno spazio euclideo <math>n</math>-dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un [[sistema di coordinate]] analogo al [[coordinate sferiche|sistema delle coordinate sferiche]] definito per lo spazio euclideo <math>3</math>-dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale <math>r</math>, ed <math>n-1</math> coordinate angolari <math>\phi _1 , \phi _2 , \ldots , \phi _{n-1}</math>. Se <math>x_i</math> sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire▼
:<math>x_1=r\cos(\phi_1)</math>▼
:<math>x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)</math>▼
:<math>x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)</math>▼
:<math>\cdots</math>▼
:<math>x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})</math>▼
:<math>x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})</math>▼
Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale <math>r</math> che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.▼
Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:▼
:<math>\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}</math>▼
:<math>\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}</math>▼
:<math>\cdots</math>▼
:<math>\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}</math>▼
Si noti che l'ultimo angolo <math>\phi _{n-1}</math> varia in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math> mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza <math>\pi</math>. Questo intervallo copre l'intera ipersfera.▼
L'[[elemento di volume|elemento di ipervolume]] nello spazio euclideo <math>n</math>-dimensionale si ottiene dallo [[Jacobiano]] della trasformazione:▼
:<math>d_{\R^n}V_n = \left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right|dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}</math>▼
:<math>=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\,dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}</math>▼
e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:▼
:<math>V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi\cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\R^n}V_n.</math>▼
L'elemento di ipersuperficie <math>(n-1)</math>-dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'[[elemento d'area]] della superficie sferica <math>2</math>-dimensionale nello spazio <math>3</math>-dimensionale, è dato da:▼
:<math>d_{S_n}V_{n-1} = r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}</math>▼
e si ha ▼
:<math>d_{\R^n}V_n = dr\ d_{S_n}V_{n-1}.</math>▼
== Ipervolume e ipersuperficie ==
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:<math>\frac{\mbox{misura ipersuperficiale di base} \cdot \mbox{altezza}}{n}</math>
== I paradossi delle ipersfere ==
▲== Coordinate ipersferiche ==<!-- This section is linked from [[Spherical coordinate system]] -->
I cosiddetti '''paradossi delle ipersfere''', impropriamente definiti tali, sono, in realtà, solo particolari proprietà geometrica degli [[spazio euclideo|spazi euclidei]] con numero di [[Dimensione|dimensioni]] elevato, in particolare, con numero di dimensioni maggiore di <math>9</math>; l'appellativo di "paradossi" è dovuto al carattere apparentemente antiintuitivo di tali proprietà geometriche, se si opera un confronto con ciò che accade nello spazio <math>3</math>-dimensionale ordinario.
▲In uno spazio euclideo <math>n</math>-dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un [[sistema di coordinate]] analogo al [[coordinate sferiche|sistema delle coordinate sferiche]] definito per lo spazio euclideo <math>3</math>-dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale <math>r</math>, ed <math>n-1</math> coordinate angolari <math>\phi _1 , \phi _2 , \ldots , \phi _{n-1}</math>. Se <math>x_i</math> sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire
Su alcuni testi sono indicati come ''paradossi di Moser''<ref>Consultare per esempio: [[Martin Gardner]], ''Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici'', [[Sansoni]], [[1981]], Cap.3: Sfere e ipersfere, p. 42 e p.44, dove si parla di paradossi scoperti da [[Leo Moser]] e mai pubblicati;</ref>, essendo stati probabilmente scoperti dal matematico [[Leo Moser]]<ref>[http://bit-player.org/2011/the-n-ball-game<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>.
=== Primo paradosso ===
▲:<math>x_1=r\cos(\phi_1)</math>
Nel piano, cioè nello spazio euclideo a <math>n=2</math> dimensioni, <math>2^2=4</math> cerchi di raggio <math>r</math> possono essere inseriti all'interno di un quadrato di lato <math>4 r</math>, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato; tali cerchi si ottengono dividendo il quadrato di partenza in <math>2^2=4</math> quadrati più piccoli di lato <math>2 r</math> e considerando i cerchi iscritti in questi quadrati più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del quadrato di partenza, c'è ancora spazio per inserire un cerchio più piccolo di raggio <math>(\sqrt{2}-1) r</math>.
▲:<math>x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)</math>
▲:<math>x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)</math>
▲:<math>\cdots</math>
▲:<math>x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})</math>
▲:<math>x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})</math>
Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a <math>n=3</math> dimensioni,<math>2^3=8</math> sfere possono essere inserite all'interno di un cubo di lato <math>4 r</math>, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle facce del cubo; tali sfere si ottengono dividendo il cubo di partenza in <math>2^3=8</math> cubi più piccoli di lato <math>2 r</math> e considerando le sfere iscritti in questi cubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del cubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire una sfera più piccola di raggio <math>(\sqrt{3}-1) r</math>.
▲Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale <math>r</math> che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.
Analogamente, nello spazio euclideo a <math>n=4</math> dimensioni, <math>2^4=16</math> ipersfere <math>4</math>-dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo <math>4</math>-dimensionale di lato <math>4 r</math>, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce <math>3</math>-dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere <math>4</math>-dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo <math>4</math>-dimensionale di partenza in <math>2^4=16</math> ipercubi <math>4</math>-dimensionali più piccoli di lato <math>2 r</math> e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio <math>(\sqrt{4}-1) r = r</math>, la quale, quindi, ha lo stesso raggio e non è più piccola delle altre.
▲Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:
▲:<math>\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}</math>
▲:<math>\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}</math>
▲:<math>\cdots</math>
▲:<math>\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}</math>
▲Si noti che l'ultimo angolo <math>\phi _{n-1}</math> varia in un intervallo di ampiezza <math>2\pi</math> mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza <math>\pi</math>. Questo intervallo copre l'intera ipersfera.
In generale, nello spazio euclideo a <math>n</math> dimensioni, <math>2^n</math> ipersfere <math>n</math>-dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo <math>n</math>-dimensionale di lato <math>4 r</math>, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce <math>(n-1)</math>-dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere <math>n</math>-dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo <math>n</math>-dimensionale di partenza in <math>2^n</math> ipercubi <math>n</math>-dimensionali più piccoli di lato <math>2 r</math> e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio <math>(\sqrt{n}-1) r</math>.
▲L'[[elemento di volume|elemento di ipervolume]] nello spazio euclideo <math>n</math>-dimensionale si ottiene dallo [[Jacobiano]] della trasformazione:
▲:<math>d_{\R^n}V_n = \left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right|dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}</math>
▲:<math>=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\,dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}</math>
E' evidente che, a partire da <math>n=5</math> dimensioni, l'ipersfera centrale diventa più grande, cioè ha raggio maggiore, rispetto alle altre <math>2^n</math> ipersfere.
▲e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:
▲:<math>V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi\cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\R^n}V_n.</math>
A <math>n=9</math> dimensioni, poi, l'ipersfera centrale ha raggio <math>(\sqrt{9}-1) r = 2 r</math>, quindi ha diametro <math>4 r</math> uguale al lato dell'ipercubo che contiene tutte le ipersfere considerate, pertanto diviene tangente alle iperfacce <math>8</math>-dimensionali di tale ipercubo; ciò nonostante, all'interno dell'ipercubo, in prossimità dei vertici, c'è ancora spazio per le altre <math>2^9 = 512 </math> ipersfere.
E' evidente che, a partire da <math>n=10</math> dimensioni, l'ipersfera centrale non può più entrare nell'ipercubo considerato, poichè ha diametro maggiore di <math>4 r</math> e, pertanto, sporge all'esterno.
▲L'elemento di ipersuperficie <math>(n-1)</math>-dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'[[elemento d'area]] della superficie sferica <math>2</math>-dimensionale nello spazio <math>3</math>-dimensionale, è dato da:
▲:<math>d_{S_n}V_{n-1} = r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}</math>
=== Secondo paradosso ===
▲e si ha
Nel piano, cioè nello spazio euclideo a <math>n=2</math> dimensioni, consideriamo una scacchiera, costituita da quadrati di lato <math>l</math>. Un cerchio circoscritto a ciascun quadrato della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del quadrato, ossia <math> l \sqrt{2} </math>, pertanto occupa parte dei quadrati adiacenti.
▲:<math>d_{\R^n}V_n = dr\ d_{S_n}V_{n-1}.</math>
Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a <math>n=3</math> dimensioni, consideriamo una scacchiera <math>3</math>-dimensionale, costituita da cubi di lato <math>l</math>. Una sfera circoscritta a ciascun cubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del cubo, ossia <math> l \sqrt{3} </math>, pertanto occupa parte dei cubi adiacenti.
In generale, nello spazio euclideo a <math>n</math> dimensioni, consideriamo una scacchiera <math>n</math>-dimensionale, costituita da ipercubi <math>n</math>-dimensionali di lato <math>l</math>. Un'ipersfera <math>n</math>-dimensionale circoscritta a ciascun ipercubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale dell'ipercubo, ossia <math> l \sqrt{n} </math>, pertanto occupa parte degli ipercubi adiacenti.
A <math>n=9</math> dimensioni, l'ipersfera circoscritta a ciascun ipercubo ha diametro uguale a <math> l \sqrt{9} = 3 l </math>, pertanto essa passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, è anche tangente alle iperfacce degli ipercubi adiacenti le quali si trovano dalla parte opposta rispetto alle iperfacce in comune con l'ipercubo a cui è circoscritta l'ipersfera.
E' evidente che, a partire da <math>n=10</math> dimensioni, l'ipersfera passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, sporge all'esterno degli ipercubi adicenti.
Un altro fenomeno particolare accade già a partire da <math>n=4</math> dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di <math> l \sqrt{4} = 2 l </math>, pertanto include anche i centri degli ipercubi aiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera <math>n</math>-dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera <math>2</math>-dimensionale o <math>3</math>-dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.
== Bibliografia ==
* Franco Eugeni e Franco Mancinelli, sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "''La metodologia storica nell'insegnamento della Matematica e della Fisica''", Atti Convegno Mathesis, [[Ripattoni]] di [[Bellante]], [[1998]].▼
* [[Martin Gardner]], ''Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici'', [[Sansoni]], [[1981]], Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 31–46.▼
=== Sui paradossi delle ipersfere ===
* R. W. Hamming, "Coding and Information theory", Prentice-Hall Inc., [[1980]], Cap. 9, pp. 164-169.
* [[Martin Gardner]], ''Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici'', [[Sansoni]], [[1981]], Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 42-45.
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<references/>
▲*Franco Eugeni e Franco Mancinelli, sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "''La metodologia storica nell'insegnamento della Matematica e della Fisica''", Atti Convegno Mathesis, [[Ripattoni]] di [[Bellante]], [[1998]].
▲*[[Martin Gardner]], ''Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici'', [[Sansoni]], [[1981]], Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 31–46.
== Voci correlate ==
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